Transformada de Möbius

En teoria de números, la transformada de Möbius, cridada aixina en honor a August Ferdinand Möbius és una transformació de funcions aritmètiques. Si f és una funció definida sobre els números sancers positius, Tf ve donada per

$(Tf)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu \left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d\mid n}f\left(\frac{n}{d}\right)\mu (d)$

a on μ és la funció de Möbius clàssica. En un llenguage més comú i estés per raons històriques, la funció Tf es diu inversa de Möbius de f. (La notació d | n significa que d és un divisor de n).

La transformació pren funcions aritmètiques, o siga, funciones f: N → C i torna funcions aritmètiques. Sobre funcions generades per mig de séries de Dirichlet, es correspon a una divisió per la funció zeta de Riemann.

La transformada inversa T^-1f ve donada per

$(T^{-1}f)(n)=\sum _{d\mid n}f(d).$

Relacions en séries

Siga

$a_n=\sum _{d\mid n}{b}_d$

de manera que

$b_n=\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)a_d$

siga la seua transformada de Möbius. Les transformades estan relacionades per mig la série de Lambert de la següent manera:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\frac{x^n}{1-x^n}$

i per mig de les séries de Dirichlet:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n^s}$

a on $\zeta (s)$ és la funció zeta de Riemann.

Vore també

• Fòrmula d'inversió de Möbius