Tronc (geometria)

tronc
Eixemples: Un tronc pentagonal i un atre quadrat
Cares	n trapezoides, 2 polígons
Arestes	3n
Vèrtiços	2n

En geometria, un tronc és la porció resultant d'un sòlit, normalment un con o piràmide, tallat en dos plans paralels. Les interseccions del sòlit en un pla tallant són les bases. El eix és el mateix que el de l'objecte original, si este lo tinguera. Si l'eix és perpendicular a la base el sòlit és recte, i en cas contrari, oblicuo.

Elements i casos especials

Cada una de les interseccions en els plans de cort és una base del tronc. El eix, si ho haver, és l'original del con o la piràmide. Un tronc és circular si les bases tenen eixa forma; és recte si l'eix és perpendicular a les bases i oblicuo en cas contrari.

Cons i piràmides poden vore's com a casos extrems de tronc, en els que un dels plans de cort és tangente al vèrtiç, quedant esta reduïda a un punt.

Fòrmules

Per a calcular l'àrea total i el volum d'esta figura geomètrica necessitem saber el perímetro i l'àrea dels plans propenc (p i B respectivament) i lluntà (p' i B' respectivament), la seua altura (h), que correspon a la recta que unix perpendicularmente els dos plans, i el seu apotema (a).

Àrea total:

$A = \frac{(p + p^{'}) \cdot a}{2} + B + B^{'}$

Volum:

$V = (B + B^{'} + \sqrt{B \cdot B^{'}}) \cdot h / 3$

El volum d'un tronc és la diferència entre el volum del sòlit original i el de la part exterior als plans de cort:

V = | \frac{h_{1} B_{1}}{3} - \frac{h_{2} B_{2}}{3} |,

a on $h_{1}$ i $h_{2}$ són les distàncies des del vèrtiç a les bases major i menor, sent $B_{1}$ i $B_{2}$ les àreas d'estes.

Siga $h$ l'altura del tronc, açò és la distància entre les bases, i tenint en conte que $h = | h_{1} - h_{2} |$ i que $\frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{h_{1}^{2}}{h_{2}^{2}}$ , s'obté una fòrmula per al volum, a on es relaciona este en l'altura del tronc i l'àrea de les seues bases, per mig de la mija heroniana.

V = \frac{h}{3} (B_{1} + \sqrt{B_{1} B_{2}} + B_{2})

Tronc cònic

En particular, el volum d'un tronc cònic és:

V = \frac{π h}{3} (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2})

a on $R_{1}$ i $R_{2}$ són els radis de les bases.

Tronc circular

Usant les definicions precedents, en el cas d'un con truncat, la fòrmula se simplifica:

V = \frac{π}{12} h D_{1}^{2} (1 - {(\frac{D_{2}}{D_{1}})}^{2})

, sent 'D' els diàmetros de les bases.

D'igual forma:

V = \frac{π}{12} h (D_{1}^{2} - \frac{D_{2}^{2}}{D_{1} / D_{2}})

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Tronco (geometría)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.