Vector de Runge-Lenz

Archiu:Laplace Runge Lenz vector.png

Vector de Runge-Lenz

Archiu:Laplace Runge Lenz vector.svg

Figura 1: El vector de RL A (en roig) per a quatre punts (marcats com 1, 2, 3 i 4) sobre l'òrbita elíptica d'un planeta que es mou baix l'acció d'una força central que seguix la llei de l'inversa del quadrat. En centre d'atracció es marca com un chicotet círcul negre a partir del com es consideren que emanen els vectores posició (en negre). El moment angular L és perpendicular a l'òrbita. Els vectores coplanarios p×L i (mk/r)r es mostren en blava i en vert, respectivament. Estes variables es definixen més alvance en este artícul. El vector A és constant en direcció i magnitut.

El vector de Runge-Lenz (o vector de Laplace-Runge-Lenz) és una constant de moviment del problema dels dos cossos en interacció gravitatoria mútua. L'existència d'esta integral de moviment és una de les formes més simples de provar que les trayectòries planetàries en eixe cas són còniques.

Motivació

El vector de Runge-Lenz apareix de manera natural a partir de l'equació de moviment. Si tomanos un sistema de referència inercial en orige en el centre de masses i considerem les distàncies relatives dels dos cossos o astres respecte a ell, podem definir el vector diferencia:

A on els dos vectores que apareixen en segon terme són els vectores de posició del primer i segon cos respectivament. En térmens del vector diferencia l'equació de moviment pot expressar-se com:

A on μ = G(m₁+m₂). L'existència d'una constant adicional ademés de l'energia i el moment angular pot provar-se molt fàcilment a partir de (1). Si es multiplica per la velocitat s'obté:

Que es pot integrar sense dificultat:

Este vector constant de fet coincidix en el moment angular per unitat de massa, i pot calcular-se sense dificultat a partir de les senyes inicials. Si multipliquem este vector constant per l'acceleració novament i fem algunes manipulacions algebraiques tenim:

D'esta última igualtat reordenando térmens es té que:

I és este vector $𝐀$ el que es coneix com a vector (Laplace-)Runge-Lenz.

Propietats

• El vector de Runge-Lenz està contingut en el pla de l'òrbita.
• Ademés el vector de Runge-Lenz coincidix en un dels semiejes de la cònica
• El mòdul del vector de Runge-Lenz de μ > 0 coincidix en el valor absolut de l'excentricitat.
• Les components del vector de Runge-Lenz no són totes independents ya que complixen la relació $𝐀\cdot 𝐋=0$

Referències

Bibliografia

• «El Problema de Kepler. Aplicacions del vector de Laplace-Runge-Lenz en òrbites pertorbades.» (en espanyol). Treballe de Fín de Grau. UNED.. Consultat el 27 de juny de 2015.