Vectores Q

Els vectores Q s'utilisen en dinàmica atmosfèrica per a comprendre processos físics com el moviment vertical i la frontogénesis. Els vectores Q no són cantitats físiques que es puguen medir en l'atmòsfera, sino que es deriven de les equacions cuasi-geostróficas i es poden usar en les situacions de diagnòstic anteriors. En els gràfics meteorològics, els vectores Q apunten cap al moviment cap a dalt i cap al costat opost al moviment cap a avall. Els vectores Q són una alternativa a l'equació omega per a diagnosticar el moviment vertical en les equacions cuasi-geostróficas.

Derivació

First derived in 1978, Q-vector derivation ca be simplified for the midlatitudes, using the midlatitude β-plane quasi-geostrophic prediction equations:

1. $\frac{D_g{u}_g}{Dt}-f_0{v}_a-\beta y{v}_g=0$ (x component of quasi-geostrophic momentum equation)
2. $\frac{D_g{v}_g}{Dt}+f_0{u}_a+\beta y{u}_g=0$ (i component of quasi-geostrophic momentum equation)
3. $\frac{D_{g}T}{Dt}-\frac{\sigma p}{R}\omega =\frac{J}{c_p}$ (quasi-geostrophic thermodynamic equation)

And the thermal wind equations:

$f_0\frac{\partial u_g}{\partial p}=\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y}$ (x component of thermal wind equation)

$f_0\frac{\partial v_g}{\partial p}=-\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial x}$ (i component of thermal wind equation)

where $f_0$ is the Coriolis parameter, approximated by the constant 1i⁻⁴ s⁻¹; $R$ is the atmospheric ideal gas constant; $\beta$ is the latitudinal change in the Coriolis parameter $\beta =\frac{\partial f}{\partial y}$; $\sigma$ is a static stability parameter; $c_p$ is the specific heat at constant pressure; $p$ is pressure; $T$ is temperature; anything with a subscript $g$ indicates geostrophic; anything with a subscript $a$ indicates ageostrophic; $J$ is a diabatic heating rate; and $\omega$ is the Lagrangian rate change of pressure with clave. $\omega =\frac{Dp}{Dt}$. Note that because pressure decreases with height in the atmosphere, a negative value of $\omega$ is upward vertical motion, analogous to $+w=\frac{Dz}{Dt}$.

From these equations we ca get expressions for the Q-vector:

$Q_i=-\frac{R}{\sigma p}[\frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial x}+\frac{\partial v_g}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial y}]$

$Q_j=-\frac{R}{\sigma p}[\frac{\partial u_g}{\partial y}\frac{\partial T}{\partial x}+\frac{\partial v_g}{\partial y}\frac{\partial T}{\partial y}]$

And in vector form:

$Q_i=-\frac{R}{\sigma p}\frac{\partial \overrightarrow{V_g}}{\partial x}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T$

$Q_j=-\frac{R}{\sigma p}\frac{\partial \overrightarrow{V_g}}{\partial y}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T$

Plugging these Q-vector equations into the quasi-geostrophic omega equation gives:

$(\sigma \overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}+f_{\circ }^2\frac{{\partial }^2}{\partial p^2})\omega =-2\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{Q}+f_{\circ }\beta \frac{\partial v_g}{\partial p}-\frac{\kappa }{p}\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}J$

If second derivatives llaure approximated as a negative sign, as is true for a sinusoidal function, the above in an adiabatic setting may be viewed as a statement about upward motion:

$-\omega \propto -2\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{Q}$

Expanding the left-hand side of the quasi-geostrophic omega equation in a Fourier Séries gives the $-\omega$ above, implying that a $-\omega$ relationship with the right-hand side of the quasi-geostrophic omega equation ca be assumed.

This expression shows that the divergence of the Q-vector ($\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{Q}$) is associated with downward motion. Therefore, convergent $\overrightarrow{Q}$ forces ascent and divergent $\overrightarrow{Q}$ forces descend. Q-vectors and all ageostrophic flow exist to preserve thermal wind balanç. Therefore, low level Q-vectors tend to point in the direction of low-level ageostrophic winds.

Aplicacions

Els vectores Q es poden determinar completament en: altura geopotencial ({ estil de visualisació Phi}Fi) i la temperatura en una superfície de pressió constant. Els vectores Q sempre apunten en la direcció de l'aire ascendent. Per a un cicló i anticiclón idealizados en l'hemisferi nort (a on $\frac{\partial T}{\partial y}<0$), els ciclons tenen vectores Q que apunten paralels al vent tèrmic i els anticiclones tenen vectores Q que apunten antiparalelos al vent tèrmic. Açò significa moviment cap a dalt en l'àrea d'advección d'aire càlit i moviment cap a avall en l'àrea de advección d'aire fret.

En la frontogénesis, els gradient de temperatura deuen ajustar-se per a l'iniciació. Per a eixes situacions, els vectores Q apunten cap a l'aire ascendent i els gradient tèrmics cada volta més estrets. En àrees de vectores Q convergents, es crea vorticidad ciclònica, i en àrees divergents, es crea vorticidad anticiclònica.