Viscosidad de volum

La viscosidad de volum, o viscosidad volumètrica, (també cridada segon coeficient de viscosidad, viscosidad dilatacional o viscosidad neta) es torna important només per a aquells efectes a on la compresibilidad del decorregut és essencial. La viscosidad de volum es relaciona principalment en l'energia vibratoria de les molècules. És zero per a gasos monoatòmics en baixa densitat, pero pot ser major per a decorreguts en molècules més grans. La viscosidad del volum és important per a descriure l'atenuació del sò en gasos moleculars, i l'absorció de l'energia del sò en el decorregut depén de la freqüència del sò, és dir, la velocitat de compressió i expansió del decorregut. La viscosidad de volum també és important per a descriure la fluidodinámica dels líquits que contenen bombetes de gas. Per a un fluix incompresible líquit, la viscosidad de volum és superflua i no apareix en l'equació de moviment.

Derivació i us

El negatiu d'un terç de la traça del tensor de tensió del Cauchy en l'equilibri és comunament identificat en la pressió mija,

$-\frac{1}{3}{T}_a^a=P,$

que solament depén i els potencials d'estat d'equilibri com la temperatura i la densitat (equació d'estat). En general, la traça del tensor de tensió és la suma de la contribució de la pressió termodinàmica i una atra contribució que és proporcional a la divergència del camp de velocitat. Este coeficient de proporcionalitat es diu viscosidad volumètrica. Els símbols comuns per a viscosidad de volum són $\zeta$ i ${\mu }_v$.

La viscosidad del volum apareix en l'equació clàssica de Navier–Stokes si està escrita per a un decorregut compresible, com es descriu en la majoria dels llibres sobre hidrodinàmica general i acústica

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mathrm{\nabla }\cdot \left[\mu (\mathrm{\nabla }𝐯+{\left(\mathrm{\nabla }𝐯\right)}^T-\frac{2}{3}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)𝐈)\right]+\mathrm{\nabla }[\zeta (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)𝐈]+\rho 𝐠$

a on$\mu$ és el coeficient de viscosidad de tall i $\zeta$ és el coeficient de viscosidad de volum. Els paràmetros $\mu$ i $\zeta$ es varen cridar originalment el primer i segon coeficient de viscosidad, respectivament. L'operador $D𝐯/Dt$ és la derivada material. Presentant els tensors (matrius) $𝐒$, ${𝐒}_0$ i $𝐂$, els quals descriuen el fluix d'esforç tallant imprecís (o cru), el fluix de tall pur i el fluix de compressió, respectivament,

$𝐒=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐯+{\left(\mathrm{\nabla }𝐯\right)}^T)$

$𝐂=\frac{1}{3}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)𝐈$

${𝐒}_0=𝐒-𝐂$

L'equació clàssica de Navier–Stokes adquirix una forma notable.

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mathrm{\nabla }\cdot \left[2\mu {𝐒}_0\right]+\mathrm{\nabla }\cdot \left[3\zeta 𝐂\right]+\rho 𝐠$

Tinga en conte que el terme en l'equació de momentum que conté la viscosidad del volum desapareix per a un decorregut incompresible perque la divergència del fluix és igual a 0.

Hi ha casos a on $\zeta \gg \mu$, els quals s'expliquen a continuació. I també deu tindre's en conte que $\zeta$ no és solament una propietat del decorregut en el sentit termodinàmic clàssic, sino que també depén del procés, per eixemple, la velocitat de compressió / expansió. Lo mateixa ocorre en la viscosidad de cort. Per a un decorregut newtoniano, la viscosidad de cort és una propietat de decorregut pur, pero per a un fluït no newtoniano no és una propietat de decorregut pur per la seua dependència del gradient de velocitat. Ni el tall ni la viscosidad volumètrica són paràmetros o propietats d'equilibri, sino propietats de transport. El gradient de velocitat i / o la taxa de compressió són per lo tant variables independents junt en la pressió, temperatura, etc. en les seues equacions constitutives que són equivalents a l'equació d'estat per a les propietats d'equilibri.

Explicació de Landáu

Segons Landau, en compressió o expansió, com en qualsevol canvi ràpit d'estat, el decorregut deixa d'estar en equilibri termodinàmic i s'establixen processos interns que tendixen a restaurar este equilibri. Estos processos solen ser tan ràpits (és dir, el seu temps de relaixació és tan curt) que la restauració de l'equilibri seguix el canvi de volum casi de colp i repent, a menos que, per supost, la taxa de canvi de volum siga molt gran

Més vesprada afig: No obstant, pot ocórrer que els temps de relaixació dels processos de restauració de l'equilibri siguen llarcs, és dir, que tenen lloc comparativament llentament.

Despuix d'un eixemple, conclou: Per lo tant, si el temps de relaixació d'estos processos és llarc, es produïx un considerable malbarat d'energia quan el decorregut es comprimix o expandix i, com este malbarat deu ser determinada per la segona viscosidad, apleguem a la conclusió que zeta és gran.

Viscosidad neta

La denotació de viscosidad neta a voltes és utilisa per al paràmetro $\zeta$, especialment en artículs antics i llibres de text, pero açò no es recomana.

Existix una equació de densitat de momentum que és una variant de l'equació de Navier-Stokes

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mathrm{\nabla }\cdot \left[2\mu 𝐒\right]+\mathrm{\nabla }\cdot \left[3\beta 𝐂\right]+\rho 𝐠$

a on $\mu$ és el coeficient de viscosidad de tall i $\beta$ és un segon coeficient de viscosidad. Observe que $𝐒$ no té sentit, lo que significa que també modelarà el fluix d'eixida / entrada al volum de control (o cela de cuadrícula en un model 3D) per l'expansió / compressió pura. És prou comú en el treball teòric agregar zero a una equació. Si agreguem i restem $2\mu 𝐂$ l'equació es convertix en

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mathrm{\nabla }\cdot \left[2\mu {𝐒}_0\right]+\mathrm{\nabla }\cdot \left[(\frac{2}{3}\mu +\beta )3𝐂\right]+\rho 𝐠$

En comparar la variant de l'equació de Navier-Stokes que es mostra dalt, i l'equació clàssica de Navier-Stokes que es mostra prop de la part superior d'este artícul, es desprén que

$\beta =\zeta -\frac{2}{3}\mu \text{or}\zeta =\beta +\frac{2}{3}\mu$

Els tensors ${𝐒}_0$ i $𝐂$ descriuen el fluix de tall pur i la compressió pura, mentres que el tensor $𝐒$ descriu un fluix de tall imprecís. Per lo tant, el paràmetro de viscosidad �eta compensa el fluix de compressió excessiu / insuficient causat per l'us del tensor $𝐒$ en lloc de ${𝐒}_0$.

Quàn la denotació de viscosidad neta és utilisada, comunament se li dona el símbol ${\mu }_b$ i es definix (com un paràmetro aparentment compost) per l'equació

${\mu }_b=\beta +\frac{2}{3}\mu .$

Despuix retornem a l'equació clàssica de Navier-Stokes i suponem que $\mu$ i $\zeta$ són constants. Açò dona

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mu \mathrm{\nabla }\cdot [\mathrm{\nabla }𝐯+{\left(\mathrm{\nabla }𝐯\right)}^T]+(\zeta -\frac{2\mu }{3})\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)+\rho 𝐠$

De la matriu jacobiana, la derivada tensorial, la notació de l'índex tensorial, la divergència i les identitats del càlcul vectorial, obtenim les següents relacions

$\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }𝐯\right)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)\text{and}\mathrm{\nabla }\cdot \left[{\left(\mathrm{\nabla }𝐯\right)}^T\right]={\mathrm{\nabla }}^2𝐯$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐯=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)$.

L'equació clàssica de Navier-Stokes pot escriure's de dos maneres similars:

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐯+(\frac{1}{3}\mu +\zeta )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)+\rho 𝐠$

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P-\mu \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)+(\frac{4}{3}\mu +\zeta )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)+\rho 𝐠$

Les variants alternatives equivalents de les equacions de Navier-Stokes són:

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P+\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐯+(\mu +\beta )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)+\rho 𝐠$

$\rho \frac{D𝐯}{Dt}=-\mathrm{\nabla }P-\mu \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)+(2\mu +\beta )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)+\rho 𝐠$

Estes últimes quatre equacions són vàlides per a decorreguts compresibles que estan subjectes a variacions tan chicotetes en els gradient de pressió, temperatura i velocitat, que tant la viscosidad de tall com la de volum poden tractar-se com a constants.

Medició

La viscosidad volumètrica de molts decorreguts és desconeguda, a pesar del seu paper fonamental per a la dinàmica de decorreguts a altes freqüències. Els únics valors de viscosidad volumètrica dels decorreguts newtonianos simples que coneixem provenen de l'antiga revisió de Litovitz i Davis, vore Referències. Informen que la viscosidad de volum de l'aigua a 15 °C és de 3.09 centipoise.

Els reómetros acústics moderns són capaços de medir este paràmetro.

Estudis més recents han determinat la viscosidad neta per a una varietat de decorreguts. En l'últim estudi, es va trobar que varis decorreguts comuns tenien viscosidades neta que eren de centenars a mils de voltes majors que les seues viscosidades de cort. Els detalls de les senyes utilisades i les tècniques d'estimació es proporcionen en Cramer (2012). Com es va discutir en Cramer (2012), els decorreguts que tenen grans viscosidades neta inclouen els utilisats com a decorreguts de treball en sistemes de potència que tenen fonts de calor de combustibles no fòssils, proves de túnel de vent i processament farmacèutic.