Decorregut newtoniano

Un decorregut newtoniano és un decorregut en el que les tensions viscoses que sorgixen de la seua fluix estan correlacionadas linealment en cada punt en la velocitat de deformació local, és dir, la velocitat de canvi del seu deformació en el temps.^[1]^[2]^[3]^[4] Les tensions són proporcionals a la taxa de canvi de la vector de velocitat del decorregut.

Un decorregut és newtoniano solament si els tensors que descriuen la tensió viscosa i la velocitat de deformació estan relacionats per un tensor de viscosidad constant que no depén de l'estat de tensió i la velocitat del fluix. Si el decorregut també és isotrópico (és dir, les seues propietats mecàniques són les mateixes en qualsevol direcció), el tensor de viscosidad es reduïx a dos coeficients reals, que descriuen la resistència del decorregut a la deformació per cisallament contínua i a la compressió o expansió contínues, respectivament.

Els decorreguts newtonianos són els models matemàtics més senzills de decorreguts que tenen en conte la viscosidad. Encara que cap decorregut real s'ajusta perfectament a la definició, molts líquits i gasos comuns, com l'aigua i l'aire, poden considerar-se newtonianos per a càlculs pràctics en condicions normals. No obstant, els decorreguts no newtonianos són relativament comuns i inclouen el oobleck (que es torna més rígit quan se cisalla vigorosamente) i la pintura que no gotea (que es torna més decorreguda quan se cisalla). Atres eixemples són moltes solucions d'polímero (que presenten l'efecte Weissenberg), polímero fosos, moltes suspensions sòlides, la sanc i la majoria dels decorreguts altament viscosos.

Els decorreguts newtonianos reben el seu nom d'Isaac Newton, qui va anar el primer en utilisar l'equació diferencial per a postular la relació entre la velocitat de deformació per cisallament i la tensió de cisallament para dits decorreguts.

Un bon número de decorreguts comuns es comporten com a decorreguts newtonianos en condicions normals de pressió i temperatura. Per eixemple, l'aigua, l'oli, la gasolina, l'alcohol, el queroseno, el benceno i la glicerina.^[5]

Definició

Un element d'un líquit o gas en moviment soporta forces procedents del decorregut circumdant, incloses les forces de tensió viscosa que provoquen la seua deformació gradual en el temps. Estes forces poden aproximar-se matemàticament en primer orde per mig d'un tensor de tensió viscosa, normalment denominat $τ$ .

La deformació d'un element decorregut, en relació en un estat anterior, pot aproximar-se en primer orde per mig d'un tensor de deformació que canvia en el temps. La derivada temporal d'eixe tensor és el tensor de velocitat de deformació, que expressa cóm canvia la deformació de l'element en el temps; i és també el gradient del camp vectorial de velocitat $v$ en eixe punt, a sovint denotat $\nabla v$ .

Els tensors $τ$ i $\nabla v$ poden expressar-se per mig de matrius 3×3, en relació en qualsevol sistema de coordenades elegit. Es diu que el decorregut és newtoniano si estes matrius estan relacionades per l'equació

$𝝉 = 𝝁 (\nabla v)$

a on $μ$ és un tensor fix de quart orde 3×3×3×3 que no depén de la velocitat ni de l'estat de tensió del decorregut.

Cas isotrópico incompresible

Per a un decorregut newtoniano incompresible i isotrópico en fluix laminar solament en la direcció x (és dir, a on la viscosidad és isotrópica en el decorregut), la tensió de cisallament està relacionada en la velocitat de deformació per mig de la senzilla equació constitutiva $τ = μ \frac{d u}{d y}$ a on

$τ$ és la tensió de cisallament («resistència de la pell») en el decorregut,
$μ$ és una constant escalar de proporcionalitat, la viscosidad dinàmica del decorregut
$\frac{d u}{d y}$ és la derivada en la direcció i, normal a x, de la component o de la velocitat de fluix que està orientada a lo llarc de la direcció x.

En el cas d'un fluix incompresible general en 2D en el pla x, i, l'equació constitutiva de Newton es convertix en: $τ_{x y} = μ (\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x})$ a on:

$τ_{x y}$ és la tensió de cisallament («resistència de la pell») en el decorregut,
$\frac{\partial u}{\partial y}$ és la derivada parcial en la direcció i del component o de la velocitat de fluix que està orientat a lo llarc de la direcció x.
$\frac{\partial v}{\partial x}$ és la derivada parcial en la direcció x del component v de la velocitat del fluix que està orientat a lo llarc de la direcció i.

Ara podem generalisar al cas d'un fluix incompresible en una direcció general en l'espai tridimensional, l'equació constitutiva anterior es convertix en $τ_{i j} = μ (\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}})$ a on

$x_{j}$ és la $j$ -ésima coordenada espacial
$v_{i}$ és la velocitat del decorregut en la direcció de l'eix $i$
$τ_{i j}$ és el $j$ -ésimo component de la tensió que actua sobre les cares de l'element decorregut perpendiculars a l'eix $i$ . És el component ij-ésimo del tensor de tensió de cisallament

o escrit en notació tensorial més compacta $𝝉 = μ (\nabla 𝐮 + \nabla 𝐮^{T})$ a on $\nabla 𝐮$ és el gradient de velocitat del fluix.

Una forma alternativa d'expressar esta equació constitutiva és:

a on $𝜺 = \frac{1}{2} (\nabla 𝐮 + {\nabla 𝐮}^{T})$ és la taxa de tensor de deformació. Per lo tant, esta descomposició es pot expressar explícitament com:^[6]

Esta equació constitutiva també es denomina «llei de Newton de la viscosidad».

El tensor de tensió total $𝝈$ sempre es pot descompondre com la suma del tensor de tensió isotrópica i el tensor de tensió desviatoria ( $𝝈^{'}$ ):

$𝝈 = \frac{1}{3} tr (𝝈) 𝐈 + 𝝈^{'}$

En el cas incompresible, la tensió isotrópica és simplement proporcional a la pressió termodinàmica $p$ : $p = - \frac{1}{3} tr (𝝈) = - \frac{1}{3} \sum_{k} σ_{k k}$

i la tensió desviadora coincidix en el tensor de tensió de cisallament $𝝉$ : $𝝈^{'} = 𝝉 = μ (\nabla 𝐮 + \nabla 𝐮^{T})$

l'equació constitutiva de la tensió es convertix llavors en $σ_{i j} = - p δ_{i j} + μ (\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}})$ o, escrit en notació tensorial més compacta $𝝈 = - p 𝐈 + μ (\nabla 𝐮 + \nabla 𝐮^{T})$ a on $𝐈$ és el tensor identitat.

Equació constitutiva

Matemàticament, l'esforç de tall en un fluix unidimensional d'un decorregut newtoniano es pot representar per la relació:

$τ_{x y} = μ \frac{d v_{x}}{d y}$

A on:

τ_{x y}

és la tensió tangencial eixercida en un punt del decorregut o sobre una superfície sòlida en contacte en el mateix, té unitats de tensió o pressió,

P a

.

μ

és la viscosidad del decorregut, i per a un decorregut newtoniano depén només de la temperatura, pot medir-se en

P a s

o

k p s / c m^{2}

.

\frac{d v_{x}}{d y}

és el gradient de velocitat perpendicular a la direcció al pla en el que estem calculant la tensió tangencial,

s^{- 1}

.

És dir, en aplicar-li una tensió de cisalla a un decorregut newtoniano, la velocitat de deformació del decorregut és directament proporcional a la tensió prèviament aplicada, sent la constant de proporcionalitat $μ$ .

l'equació constitutiva que relaciona el tensor tensió, el gradient de velocitat i la pressió en un decorregut newtoniano és simplement:

$σ_{i j} = - p δ_{i j} + μ (\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} δ_{i j} \nabla \cdot 𝐯)$

Referències

↑ Panton, Ronald L. (2013). Incompressible Flow, Fourth edició, Hoboken: John Wiley & Sons, p. 114. ISBN 978-1-118-01343-4.
↑ Batchelor, G. K. (2000). An Introduction to Fluïu Dynamics, Cambridge Mathematical Library séries, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
↑ Fluïu Mechanics, p. (pàgina necessària).
↑ Kirby, B. J. (2010). Micro- and Nanoscale Fluïu Mechanics: Transport in Microfluidic Devices, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
↑ Mott, Robert L.; Untener, {{{nom2}}} (2015). «2», Mecànica de decorreguts, 7 edició, Pearson, p. 23. ISBN 9780132558921.
↑ Batchelor (1967) pp. 137 i 142.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Fluido newtoniano» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Panton, Ronald L. (2013). Incompressible Flow, Fourth edició, Hoboken: John Wiley & Sons, p. 114. ISBN 978-1-118-01343-4.

[Batchelor-2] Batchelor, G. K. (2000). An Introduction to Fluïu Dynamics, Cambridge Mathematical Library séries, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.

[Kundu-3] Fluïu Mechanics, p. (pàgina necessària).

[Kirby-4] Kirby, B. J. (2010). Micro- and Nanoscale Fluïu Mechanics: Transport in Microfluidic Devices, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.

[5] Mott, Robert L.; Untener, {{{nom2}}} (2015). «2», Mecànica de decorreguts, 7 edició, Pearson, p. 23. ISBN 9780132558921.

[Batchelor_142_148-6] Batchelor (1967) pp. 137 i 142.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]