Tensor de tensió viscosa

El tensor de tensió viscosa o tensor d'esforç viscós, és un tensor utilisat en mecànica del continu per a modelar la part del tensió en un punt dins d'algun material que pot atribuir-se a la velocitat de deformació, la derivada de la velocitat de deformació respecte al temps a la que s'està deformant al voltant d'eixe punt.

El tensor d'esforç viscós és formalment similar al Tensor tensió de Cauchy que descriu les forces internes en un material elàstic per la seua deformació. Abdós tensors assignen la vector normal d'una element de superfície a la densitat i direcció de la tensió que actua sobre eixe element de superfície. No obstant, la tensió elàstica es deu a la cantitat de deformació (strain), mentres que la tensió viscosa es deu a la velocitat de canvi de la deformació en el temps (velocitat de deformació). En els materials viscoelásticos, el comportament dels quals és intermig entre el dels líquits i el dels sòlits, el tensor total de tensions comprén components viscosos i elàstics («estàtics»). Per a un material completament decorregut, el terme elàstic es reduïx a la pressió hidrostàtica.

En un sistema de coordenades arbitrari, la tensió viscosa $ε$ i la velocitat de deformació $I$ en un punt i temps específics poden representar-se per mig de matrius 3 × 3 d'número real. En moltes situacions existix una relació aproximadament llineal entre eixes matrius; és dir, una tensor de viscosidad de quart orde $μ$ tal que $ε' = μI$ . El tensor $μ$ té quatre índexs i consta de 3 × 3 × 3 × 3 número real (dels quals només 21 són independents). En un decorregut newtoniano, per definició, la relació entre $ε$ i $I$ és perfectament llineal, i el tensor de viscosidad $μ$ és independent de l'estat de moviment o tensió del decorregut. Si el decorregut és isótropo ademés de newtoniano, el tensor de viscosidad $μ$ tindrà només tres paràmetros reals independents: un coeficient de viscosidad aparent, que definix la resistència del mig a la compressió uniforme gradual; un coeficient de viscosidad dinàmica que expressa la seua resistència al cisallament gradual, i un coeficient de viscosidad rotacional que resulta d'un acoplament entre el fluix del decorregut i la rotació de les partícules individuals. ^[1]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where} En absència de tal acoplament, el tensor d'esforç viscós tindrà només dos paràmetros independents i serà simètric. En fluïts no newtonianos, en canvi, la relació entre $ε$ i $I$ pot ser extremadament no llineal, i $ε$ pot inclús dependre d'atres característiques del fluix ademés de $I$ .

Definició

Esforce viscós front a esforç elàstic

Les tensions mecàniques internes en un mig continu solen estar relacionades en la deformació del material a partir d'algun estat «relaixat» (sense tensió). Estes tensions solen incloure un component de tensió elàstica («estàtica»), que està relacionat en la cantitat actual de deformació i actua per a tornar el material al seu estat de repòs; i un component de tensió viscosa, que depén de la velocitat a la que la deformació està canviant en el temps i s'opon a eixe canvi.

El tensor de tensions viscós

De la mateixa manera que les tensions totals i elàstiques, la tensió viscosa al voltant d'un punt determinat del material, en qualsevol moment, pot modelizarse per mig d'un tensor de tensions, un relació llineal entre la vector de direcció normal d'un pla ideal a través del punt i la densitat de tensions local en eixe pla en eixe punt.

En qualsevol sistema de coordenades elegit en eixos numerats 1, 2, 3, este tensor de tensions viscós pot representar-se com una matriu de 3 × 3 d'número real:

ε (p, t) = [\begin{matrix} ε_{11} & ε_{12} & ε_{13} \\ ε_{21} & ε_{22} & ε_{23} \\ ε_{31} & ε_{32} & ε_{33} \end{matrix}]

Cal tindre en conte que estos números solen canviar en el punt $p$ i el temps $t$ .

Considerem una element de superfície plana infinitesimal centrada en el punt $p$ , representada per un vector $dona$ la llongitut del qual és l'àrea de l'element i la direcció del qual és perpendicular a ell. Siga $dF$ la força infinitesimal deguda a la tensió viscosa que s'aplica a través d'eixe element superficial al material del costat opost a $dona$ . Les components de $dF$ a lo llarc de cada eix de coordenades vénen donades llavors per

d F_{i} = \sum_{j} ε_{i j}, d A_{j} .

En qualsevol material, el tensor d'esforç total $σ$ és la suma d'este tensor d'esforç viscós $ε$ , el tensor d'esforç elàstic $τ$ i la pressió hidrostàtica $p$ . En un material perfectament decorregut, que per definició no pot tindre tensió de cisallament estàtica, el tensor de tensió elàstica és zero:

σ_{i j} = - p δ_{i j} + ε_{i j},

a on $δ ij$ és el tensor unitari, tal que $δ ij$ és 1 si $i = j$ i 0 si $i \neq j$ .

Mentres que les tensions viscoses són generades per fenomens físics que depenen en gran mida de la naturalea del mig, el tensor de tensions viscoses $ε$ és només una descripció de les forces momentànees locals entre parceles adjacents del material, i no una propietat del material.

Simetria

Ignorant el parell en un element pel fluix (parell «extrínseco»), el parell viscós «intrínsec» per unitat de volum en un element decorregut s'escriu (com un tensor antisimètric) com

τ_{i j} = ε_{i j} - ε_{j i}

i representa la taxa de canvi de la densitat del moment angular intrínsec en el temps. Si les partícules tenen graus de llibertat rotacionales, açò implicarà un moment angular intrínsec i si este moment angular pot modificar-se per colisions, és possible que este moment angular intrínsec puga canviar en el temps, donant lloc a un parell intrínsec que no siga zero, lo que implicarà que el tensor d'esforç viscós tindrà un component antisimètric en un coeficient de viscosidad rotacional corresponent. ^[1] Si les partícules del decorregut tenen un moment angular despreciable o si el seu moment angular no està acoplat de forma apreciable al moment angular extern, o si el temps d'equilibri entre els graus de llibertat externs i interns és pràcticament zero, el parell serà zero i el tensor d'esforç viscós serà simètric. Les forces externes poden donar lloc a un component asimètric del tensor d'esforç (per eixemple, els decorreguts ferromagnéticos que poden sofrir torsió per camps magnètics externs).

Causes físiques de la tensió viscosa

En un material sòlit, el component elàstic de la tensió pot atribuir-se a la deformació dels vínculs entre els àtoms i molèculas del material, i pot incloure tensions de cisallament. En un decorregut, la tensió elàstica pot atribuir-se a l'aument o disminució de l'espayat mig de les partícules, que afecta a la seua taxa de colisió o interacció i, per tant, a la transferència de moment a través del decorregut; està relacionada, per tant, en el component aleatori microscòpic tèrmica del moviment de les partícules, i es manifesta com una tensió de pressió hidrostàtica isótropo.

El component viscós de la tensió, per un atre costat, sorgix de la velocitat macroscòpica mija de les partícules. Pot atribuir-se a la fricció o a la difusió de partícules entre parceles adjacents del mig que tenen velocitats miges diferents.

Equació de la viscosidad

Tensor de velocitat de deformació

Artícul principal → tensor de velocitat de deformació.

En un fluix suau, la velocitat a la que la deformació local del mig canvia en el temps (la velocitat de deformació) pot aproximar-se per mig d'un tensor de velocitat de deformació $I (p, t)$ , que sol ser una funció del punt $p$ i del temps $t$ . Sobre qualsevol sistema de coordenades, pot expressar-se per mig d'una matriu 3 × 3.

El tensor de velocitat de deformació $I (p, t)$ pot definir-se com la derivada del tensor de deformació $i (p, t)$ . $i (p, t)$ sobre el temps, o, equivalentemente, com la part simètrica del gradient (derivada sobre l'espai) del vector de velocitat del fluix $v (p, t)$ :

E = \frac{\partial e}{\partial t} = \frac{1}{2} ((\nabla v) + (\nabla v)^{𝖳}),

a on $\nabla v$ denota el gradient de velocitat. En coordenades cartesianas, $\nabla v$ és la matriu jacobiana,

(\nabla v)_{i j} = \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}

i per lo tant

E_{i j} = \frac{\partial e_{i j}}{\partial t} = \frac{1}{2} (\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}) .

De qualsevol forma, el tensor de velocitat de deformació $I (p, t)$ expressa la velocitat a la que canvia la velocitat mija en el mig a mida que un s'allunta del punt $p$ . - llevat els canvis deguts a la rotació del mig al voltant de $p$ com un cos rígit, que no canvien les distàncies relatives de les partícules i només contribuïxen a la part rotacional de la tensió viscosa a través de la rotació de les pròpies partícules individuals. (Estos canvis comprenen la vorticidad del fluix, que és el curvatura (rotacional) $\nabla \times v$ } de la velocitat; que també és la part antisimètrica del gradient de velocitat $\nabla v$ ).

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 (1984) Termodinàmica de no equilibri, Nova York: Dover. ISBN 0-486-64741-2.

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensor de tensión viscosa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[«dG1984»-1] 1,0 ^1,1 (1984) Termodinàmica de no equilibri, Nova York: Dover. ISBN 0-486-64741-2.

[1]

Plantilla:R/where