Normal (geometria)

Archiu:Normal vectors2.svg

Un polígon i els seus dos vectores normals

Archiu:Surface normal illustration.svg

La normal a una superfície en un punt és lo mateix que una normal al pla tangente a la superfície en el mateix punt

En geometria, una normal és un objecte matemàtic (com una recta o vector) que és perpendicular sobre un atre objecte determinat. Per eixemple, la recta normal a una curva plana en un punt donat és la llínea recta (infinita) perpendicular a la tangente i a la curva en el punt considerat.

Un vector normal pot tindre llongitut un (en el cas de la qual és un vector normal unitari) o la seua llongitut pot representar la curvatura de l'objecte (un vector de curvatura).

Multiplicar un vector normal per -1 dona com resultat un vector opost, que pot usar-se per a indicar de quin costat se situa (per eixemple, en l'interior o en l'exterior d'una figura).

En l'espai tridimensional, la normal a una superfície en un punt P és un vector perpendicular a la tangente a la superfície en dit punt P. La paraula normal també s'utilisa com a adjectiu: una recta normal a un pla, la component normal d'una força, o un vector normal. El concepte geomètric de normalitat s'identifica en el d'ortogonalidad en atres camps de la matemàtica (com els ànguls rectes en trigonometria).

El concepte s'ha generalisat a les varietats diferenciables de dimensió arbitrària integrades en un espai euclídeo. El espai vectorial normal o espai normal d'una varietat en el punt $P$ és el conjunt de vectores que són ortogonals al espai tangente en $P$.

Els vectores normals són d'especial interés en el cas de curves i superfícies suaus.

La normal s'usa a sovint en gràfics 3D per computadora (observe el singular, ya que solament es definirà una normal) per a determinar l'orientació d'una superfície cap a llum per a generar el sombreado pla, o l'orientació de cada una dels cantons d'una superfície (les seues vèrtiços) per a imitar una superfície curva amprant el sombreado de Phong .

El peu d'una normal en un punt buscat Q (anàlec al peu d'una perpendicular) es pot definir en el punt P de la superfície a on el vector normal conté a Q.

La distància normal d'un punt Q a una curva o a una superfície és la distància euclídea entre Q i el seu peu P.

Normal a superfícies en l'espai 3D

Archiu:Normal vectors on a curved surface.svg

Una superfície curva que mostra els vectores unitaris normals a la superfície (fleches blaves)

Càlcul de la normal a una superfície

• Per a un polígon convexo (com per eixemple, un triàngul), es pot calcular un vector normal al pla que ho conté com a resultat del producte vectorial de dos de les seues arestes no paraleles entre sí.

• Per a un pla donat per l'equació $ax+by+cz+d=0,$, el seu vector normal és el vector $𝐧=(a,b,c)$.

• Per a un pla l'equació del qual està donada en forma paramètrica $𝐫(s,t)={𝐫}_0+s𝐩+t𝐪,$; a on ${𝐫}_0$ és un punt en el pla i $𝐩,𝐪$ són vectores no paralels pertanyents al pla, una normal al pla és un vector normal tant a $𝐩$ com a $𝐪,$ que es pot calcular com el producte vectorial$𝐧=𝐩\times 𝐪.$

• Si una superfície $S$ en l'espai tridimensional ${ℝ}^3$ (que pugues no ser un pla) és parametrizada per mig d'un sistema de coordenades curvilíneas $𝐫(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),$ en variables reals $s$ i $t$, llavors una normal a S és, per definició, una normal a un pla tangente a S, donada pel producte vectorial de les derivades parcials: $𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}.$

• Si una superfície $S$ es definix per mig d'una funció implícita com el conjunt de punts $(x,y,z)$ que satisfan l'equació $F(x,y,z)=0$, llavors una normal en un punt $(x,y,z)$ de la superfície ve donada pel gradient $𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z)$, tenint en consideració que el gradient en qualsevol punt és perpendicular als conjunts de nivell de $S$ existents en l'entorn del punt.

• Per a una superfície $S$ en ${ℝ}^3$ donada com la gràfica d'una funció $z=f(x,y),$, es pot trobar una normal que apunta cap a dalt a partir de la parametrización $𝐫(x,y)=(x,y,f(x,y)),$ donant $𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial x}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial y}=(1,0,\frac{\partial f}{\partial x})\times (0,1,\frac{\partial f}{\partial y})=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1);$

o més senzillament, a partir de la seua forma implícita $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$, donant $𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z)=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1).$

• Ya que en els punts singulars d'una superfície no és possible definir un pla tangente, no existix una normal ben definida en ells, com per eixemple en el cas del vèrtiç d'un con. En general, és possible definir una normal en casi tots els punts d'una superfície definida per una funció lipschitziana.

Orientació

Archiu:Surface normals.svg

Un camp vectorial de normals a una superfície

La normal a una (hiper)superfície generalment s'escala per a tindre llongitut unitària, pero no té una direcció única, ya que el seu opost també és una vector normal unitari. Per a una superfície que és la frontera topològica d'un conjunt en tres dimensions, es poden distinguir entre dos orientacions normals, la normal que apunta cap a dins i la normal que apunta cap a fòra. Per a una superfície orientada, l'orientació dels vectores normals sol estar determinada per la regla de la mà dreta o el seu anàlec en dimensions superiors.

Si la normal es construïx com el producte creuat de vectores tangentes (com es descriu en el text anterior), llavors s'obté un pseudovector.

Transformació de les normals

Nota: En esta secció solament s'usa la matriu de $3\times 3$, ya que l'operació de translació és irrellevant per al càlcul.

En aplicar una transformació geomètrica a una superfície, sol ser útil deduir les normals de la superfície resultant a partir de les normals originals.

Específicament, donada una matriu de transformació $𝐌$ de 3×3, és possible determinar la matriu $𝐖$ que transforma un vector $𝐧$ perpendicular al pla tangente $𝐭$ en un vector ${𝐧}^{\prime }$ perpendicular al pla tangente transformat $𝐌𝐭,$ per mig del següent procediment:

Denotant n′ com $𝐖𝐧$, es deu determinar $𝐖$: $$\begin{array}{cc}W𝕟\text{ es perpendicular a }M𝕥& \text{si y solo si}0=(W𝕟)\cdot (M𝕥)\\ & \text{si y solo si}0=(W𝕟{)}^{\mathrm{T}}(M𝕥)\\ & \text{si y solo si}0=\left({𝕟}^{\mathrm{T}}{W}^{\mathrm{T}}\right)(M𝕥)\\ & \text{si y solo si}0={𝕟}^{\mathrm{T}}\left(W^{\mathrm{T}}M\right)𝕥\\ \end{array}$$

Elegir $𝐖$ de modo que $W^{\mathrm{T}}M=I,$ o $W=(M^{-1}{)}^{\mathrm{T}},$ satisfaça l'equació anterior, donant un $W𝕟$ perpendicular a $M𝕥,$ o un ${𝐧}^{\prime }$ perpendicular a ${𝐭}^{\prime },$ segons siga necessari.

Per lo tant, es deu utilisar la matriu inversa transpuesta de la transformació llineal en transformar les normals de la superfície. L'inversa transpuesta és igual a la matriu original si la matriu és ortonormal, és dir, quan és purament rotacional (sense escalamiento ni cisallament).

Hipersuperficies en l'espai n-dimensional

Per a un hiperplano $(n-1)$-dimensional en l'espai $n$-dimensional ${ℝ}^n$ dau per la seua representació paramètrica:

$𝐫(t_1,\dots ,t_{n-1})={𝐩}_0+t_1{𝐩}_1+\cdots +t_{n-1}{𝐩}_{n-1},$

a on ${𝐩}_0$ és un punt en el hiperplano i ${𝐩}_i$ per a $i=1,\dots ,n-1$ són vectores linealmente independents que pertanyen al hiperplano, una normal al hiperplano és qualsevol vector $𝐧$ en el núcleu de la matriu $P=\left[\begin{array}{ccc}{𝐩}_1& \cdots & {𝐩}_{n-1}\end{array}\right]$, lo que significa que $P𝐧=\mathrm{𝟎}.$ És dir, qualsevol vector ortogonal a tots els vectores que estan en el pla és per definició una normal a la superfície. Alternativament, si el hiperplano es definix com el conjunt solució d'una única equació llineal $a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=c,$, llavors el vector $𝕟=(a_1,\dots ,a_n)$ és normal.

La definició d'una normal a una superfície en un espai tridimensional es pot estendre a hipersuperficies $(n-1)$ dimensionals en ${ℝ}^n$. Una hipersuperficie pot ser localment definida de forma implícita com el conjunt de punts $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ que satisfan una equació $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,$ a on $F$ és una funció escalar donada. Si $F$ és diferenciable, llavors la hipersuperficie és una varietat diferenciable en l'entorn dels punts a on el gradient no és zero. En estos punts un vector normal ve dau pel gradient:

$𝕟=\mathrm{\nabla }F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial F}{\partial x_n}).$

La recta normal és el subespacio unidimensional en base $\{𝐧\}$.

Vore també

• Espai dual
• n-vector (vector normal un elipsoide)
• Fibrado normal
• Vector axial
• Components tangencial i normal
• Normal a un vèrtiç