Algoritme LMS

El algoritme LMS (del anglés, Least-Pixen-Square algorithm) s'usa en filtres adaptatius per a trobar els coeficients del filtre que permeten obtindre el valor esperat mínim del quadrat de la senyal d'error, definida com la diferència entre la senyal desijada i la senyal produïda a l'eixida del filtre.

Pertany a la família dels algoritmes de gradient estocàstic, és dir, el filtre s'adapta segons l'error en l'instant actual únicament. Va ser inventat en 1960 pel professor de l'Universitat de Stanford Bernard Widrow i el seu primer estudiant de doctorat, Ted Hoff.

La seua importància radica que és un algoritme molt simple. No requerix mides de les funcions de correlació, ni tampoc inversió de la matriu de correlació.

Un filtre és un procés per mig del qual a una senyal qualsevol se li modifica la seua contingut espectral. L'algoritme LMS és un algoritme de filtrat llineal adaptatiu que, en general, consistix de dos processos bàsics:

• Un procés de filtrat, que involucra:
  • el còmput de l'eixida d'un filtre llineal en resposta a una senyal d'entrada, i
  • la generació d'una estimació de l'error per mig de la comparació d'esta eixida en la senyal desijada.
• Un procés adaptatiu, que involucra l'ajust automàtic dels paràmetros del filtre d'acort a l'error estimat.

Quan es parla de filtres adaptatius, està implícit que els paràmetros que caracterisen al filtre, tals com l'ample de banda i freqüències dels zeros, entre uns atres, canvien en el temps, açò és, els coeficients dels filtres adaptatius canvien en el temps, en contraposició als coeficients dels filtres fixos que són, teòricament, invariantes en el temps.

Resum de l'algoritme LMS

L'algoritme LMS, per a un filtre d'orde $M$, pot resumir-se de la següent manera:

Paràmetros:	$M=$ orde del filtre
	$\mu =$ tamany del passe
Inicialización:	Si es dispon d'informació sobre el vector de coeficients del filtre $\widehat{𝐰}(n)$, usar-la per a elegir un valor apropiat per a $\widehat{𝐰}(0)$. En cas contrari, usar $\widehat{𝐰}(0)=\mathrm{𝟎}$
Senyes:
Daus:	$𝐮(n)={[u(n),u(n-1),\dots ,u(n-M+1)]}^T$: senyal d'entrada en l'instant $n$
	$d(n)$: senyal desijada a l'eixida del filtre
A calcular:	$\widehat{𝐰}(n+1)={[{\hat{w}}_0(n+1),{\hat{w}}_1(n+1),\dots ,{\hat{w}}_{M-1}(n+1)]}^T$: estimació del vector de coeficients del filtre en l'instant $n+1$
Còmput:	Per a $n=0,1,2,\dots$, calcular:
	$e(n)=d(n)-{\widehat{𝐰}}^H(n)\cdot 𝐮(n)$: senyal d'error
	$\widehat{𝐰}(n+1)=\widehat{𝐰}(n)+\mu e^{*}(n)𝐮(n)$: adaptació dels coeficients del filtre

El superíndex $T$ denota trasposición, el superíndex $H$ denota trasponer conjugada, l'asterisc denota conjugació i ${\widehat{𝐰}}^H(n)\cdot 𝐮(n)$ és l'eixida del filtre, que es calcula com el producte intern entre el vector de coeficients del filtre $\widehat{𝐰}(n)$, els components del qual solen cridar-se pesos o weighs, i el vector de senyes d'entrada al filtre $𝐮(n)$.

Vore també

• Filtre adaptatiu
• Algoritme RLS