Anàlisis de freqüència acumulada

La freqüència acumulada o freqüència acumulativa és la freqüència d'ocurrència de valors d'un fenomen menor que un valor de referència. El fenomen pot ser una variable aleatòria que varia en el temps o en l'espai. La freqüència acumulada es diu també freqüència de no−excedència. L'anàlisis de la freqüència acumulada es fa en el propòsit d'obtindre una idea de quantes voltes ocorreria un cert fenomen lo que pot ser instrumental en descriure o explicar una situació en la qual el fenomen juga un paper important, o en planificar intervencions, per eixemple en el control d'inundacions.

Ilustració gràfica de la distribució de freqüència acumulada, la distribució adaptada de provabilitat acumulada, i els intervals de confiança.

Principis

Definició

L'anàlisis de la freqüència acumulada s'aplica a una colecció de senyes observades d'un fenomen (X). La colecció pot ser en dependència del temps (per eixemple la pluja medida en un lloc) o de l'espai (per eixemple collites de cultius en l'àrea), o pot tindre una atra dependència.

La freqüència acumulada és la freqüència estadística F(X≤Xr) en que el valor d'un variable aleatòria (X) és menor que o igual a un valor de referència (Xr).
La freqüència acumulada relativa es deixa escriure com Fc(X≤Xr), o en breu Fc(Xr), i es calcula de:

• Fc (Xr)  = M_Xr / N

a on M_Xr és el número de senyes X en un valor menor que o igual a Xr, i N és número total de les senyes.
En breu s'escriu:

• Fc = M / N

Quan Xr=Xmin, a on Xmin és el valor mínim observat, es veu que Fc=1/N, perque M=1. Per un atre costat, quan Xr=Xmax, a on Xmax és el valor màxim observat, es veu que Fc=1, perque M=N.

En percentage l'equació és:

• Fc(%) = 100 M / N

Provabilitat

La provabilitat cumulativo ℙ(X≤Xr) − és dir la provabilitat que X serà menor que o igual a Xr − es pot estimar a pur de la freqüència acumulada relativa Fc com:

• Pc (Xr)  = M_Xr / (N+1)

En breu es pot notar:

• Pc = M/(N+1)

Ací s'ha introduït el denominador N+1 en lloc de N per a crear la possibilitat que X pot ser major que Xmax ya que ara Pc(Xmax) és menor d'1. Existixen atres propostes per al denominador N+1, pero estes al mateix temps són considerades incorrectes.

Ordenació per magnitut

Ilustració gràfica de la provabilitat acumulada de senyes ordenades per magnitut.

Una manerea alternativa per a calcular Pc és per mig d'ordenació de les senyes per magnitut. Quan les senyes X estan ordenats per magnitut en una série ascendent, primer el mínim i al fi el màxim, i Ri és el número del ranc d'un cert Xi en la série, la provabilitat acumulada s'escriu com:

• Pc(Xi) = Ri / (N+1)

o en breu:

• Pc = Ri / (N+1)

Per un atre costat, quan les senyes estan ordenades en una seqüència descendent, primer el màxim i finalment el mínim, i Rj és el número de ranc d'un cert Xj, l'expressió de la provabilitat acumulada és:

• Pc(Xj) = 1 − Rj / (N+1)

o en breu:

• Pc = 1 − Rj / (N+1)

Adaptació a distribucions de provabilitat

Distribució contínua

Diferents distribucions normals, cumulativo, de provabilitat en els seus paràmetros

A fi de formular la distribució de freqüència acumulativa com una equació matemàtica evitant la presentació d'una taula, s'adapta esta distribució a una distribució de provabilitat acumulativa.
L'equació també ajuda en l'interpolació i l'extrapolació. No obstant, l'extrapolació d'una distribució de freqüència pot ser una font d'errors. Un possible error és que la distribució de freqüència no seguix la distribució de provabilitat fòra del ranc observat.
Qualsevol equació que dona el valor 1 quan integrat d'un llímit inferior a un llímit superior que corresponen en les senyes, pot servir com a distribució de provabilitat.
Existixen dos procediments per a l'acomodació de distribucions de provabilitat:

• el método paramètric, determinant els paràmetros com a mig i desviació estàndar de les senyes X
• el método de regressió, linearizando la distribució de provabilitat per una transformació i determinant els paràmetros en una regressió llineal de Pc transformat (ací Pc s'obté del método d'ordenació per magnitut) sobre les senyes X transformats

Aplicació d'abdós métodos amprant per eixemple la:

• distribució normal
• distribució log-normal
• distribució exponencial
• distribució de Gumbel
• distribució de Pareto
• distribució de Weibull

a sovint no produïx resultats que diferixen significativament. Ademés, diferents distribucions de provabilitat poden tirar resultats similars en diferències relativament chicotetes en comparació a l'ample de l'interval de confiança. Llavors no sempre és fàcil decidir com distribució rendix els millors resultats.

Distribució de freqüència acumulada en discontinuidad

Distribució discontínua

És possible d'introduir una discontinuidad, separant el ranc de senyes en dos parts en distribucions diferents. L'introducció de la continuïtat és útil quan la coa de la distribució, i els valors extrems, desvien de la distribució de la massa mijana de les senyes.

L'introducció també ha segut instrumental per a l'anàlisis de les pluges en el nort de Perú a on el clima depén del comportament del corrent El Chiquet en l'oceà Pacífic. Quan El Chiquet s'estén més allà del sur d'Equador aplegant a la costa Peruana, el clima en el nort de Perú es torna tròpic humit. Quan El Chiquet no aplega al Perú, el clima és semi−àrit. Per esta raó, les pluges extremes exhibixen una distribució de freqüència diferent de les pluges moderades.