Aplicació llogística

Aplicació llogística

L'aplicació llogística per a 100 generacions de x (traçades d'esquerra a dreta) en r movent-se des de 0 fins a 4

La aplicació llogística o equació llogística és una relació de recurrencia que es va fer molt coneguda en 1976 gràcies a un artícul científic del biòlec Robert May i que va ser estudiada més en profunditat pel físic Mitchell Feigenbaum. May pretenia trobar un model demogràfic senzill que explicara la dinàmica d'una població de la que s'ha supost que té un creiximent cada volta més llent a mida que s'acosta a una cantitat d'individus considerada com a llímit.

May va comprovar que en canviar els valors de l'únic paràmetro del model este presentava solucions molt distintes i a voltes molt complexes pese a que es tracta d'una simple aplicació polinòmica de grau 2. Per això este model és a sovint citat com un eixemple de representació de lo complex que pot ser un comportament caòtic encara que es partixca d'un model de senzilla expressió. Per eixemple, el matemàtic i divulgador John Allen Paulos ha opinat que si un sistema tan trivial com esta equació pot evidenciar una impredecibilidad tan caòtica llavors es deuria ser menys taxativo i dogmàtic en relació en els efectes que s'han predit que tindran certes polítiques ecològiques sobre un sistema tan jagant i complex com és el planeta Terra.

L'aplicació llogística pot expressar-se matemàticament com:

$x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n)$

A on:

$x_n$ és un número entre zero i un que representa a la fracció d'individus en un territori, respecte d'un nº supost màxim possible, en un instant "n".

$r$ és un número positiu que representa la relació o taxa combinada entre la reproducció i la mortandad.

Esta equació no llineal descriu dos efectes:

• El creiximent de tipo exponencial de la població (efecte més visible quan la població és menuda).
• La mortalitat adicional que aumenta a mida que creix la població, per la competència dels individus entre sí per a assegurar-se l'aliment necessari. Açò es traduïx matemàticament pel terme quadràtic en un signe negatiu.

Este model assumix que els recursos per a la població són illimitats i que no hi ha mortalitat per la competència en atres espècies.

No obstant, com a model demogràfic, l'aplicació llogística té el patològic problema de que per a algunes condicions inicials i certs valors de paràmetros conduïx a tamanys de població negatius. Este problema no apareix en el model de Ricker Major, que també presenta una dinàmica caòtica.

Història

Va ser el físic Robert May (Austràlia, 1936), pioner en la interdisciplina física-biologia, qui va estudiar este model no llineal buscant una manera senzilla d'explicar la dinàmica poblacional. El seu objectiu en crear este model era que en principi la població en un instant podia predir-se a partir de la població en un instant previ en multiplicar-la per una constant, pero que ademés tinguera en conte el fet de que a mida que la població creix i s'acosta a un valor considerat màxim, el valor de la població resulta cada volta menys alluntat del valor previ. Açò reflectiria, per eixemple, que per a valors de la població molt grans faltaran aliments i les malalties es propagaran en més facilitat.

El model descriu en temps discrets l'evolució d'una població a partir del coneiximent de la mateixa en un instant inicial. La variable $x_n$ és la fracció d'individus en un territori (respecte d'un nº màxim que pot ser sustentat) a un temps donat. O siga, que el valor "0" representa l'absència de població i el valor "1" l'existència de tants individus com siga possible. El model descriuria el valor futur de la població a partir del coneiximent del valor present. En principi es multiplica la fracció de la població present per una constant. Pero ademés, per a tindre en conte el fet de que en haver més població, la competència entre els individus aumenta i la població creix en més dificultat, multiplica a la fracció poblacional per la diferència entre 1 i el valor poblacional actual.

No obstant pronte es va donar conte de que el model presentava una gran cantitat de solucions segons cual fora el valor del paràmetro que s'utilisara, i que eixes solucions eren molt distintes entre sí. En efecte, en alguns casos la solució consistia en una complexa alternança de valors que no convergien ni a valors estacionarios ni a solucions periòdiques.

El fet de que la iteración del càlcul per a distints valors del paràmetro r conduïra a solucions complexes, que semblaven aleatòries en el seu comportament pese a tractar-se d'un model determinista molt senzill va causar gran impacte a nivell científic, i va ser un dels detonants de l'estudi de lo que es cridaria teoria del caos.

Comportament segons distints valors de "r"

Diagrama de forcall per a l'aplicació llogística, segons distints valors de "r"

Segons el valor que se li adjudique a "r", s'observaran els següents comportaments:

• Si 0 < r <= 1 la població terminarà desapareixent independentment del valor de la població inicial.
• Si 1 < r <= 2 la població ràpidament tendirà al valor: $\frac{r-1}{r}$, independentment del valor de la població inicial.
• Si 2 < r <= 3 a la llarga la població també s'estabilisarà en: $\frac{r-1}{r}$ pero prèviament fluctuarà en l'entorn d'eixe valor. La taxa de convergència és llineal, llevat para r = 3, en que és molt llenta, menor que la llineal.
• Si 3 < r <= $1+\sqrt{6}$ (casi 3,45), la població oscila sempre entre 2 valors.
• En r entre 3,45 i 3,54 (aproximadament), la població tendirà a oscilacions permanents entre 4 valors.
• Si r és llaugerament major de 3,54, la població oscilarà entre 8 valors (16, després 32, etc.). La relació entre la llongitut dels dos intervals successius dels forcalls s'aproxima a la constant de Feigenbaum δ = 4,669. Este comportament és un eixemple d'un periodo doble de forcall.
• Prop de 3,57 és l'inici del caos, pero encara hi ha certs rancs aïllats de r que mostren un comportament no caòtic, estes són a voltes cridades illes d'estabilitat. Per eixemple, a partir de $1+\sqrt{8}$ (aproximadament 3,83) existix una série de paràmetros r que mostren oscilació entre tres valors, i per a valors llaugerament més alts de r, mostren oscilació entre 6 valors, després 12, etc.
• Ademés si r $>4$, els valors deixen l'interval [0,1] i divergixen para casi tots els valors inicials.

El diagrama de forcall resumix tot. L'eix horisontal mostra els valors del paràmetro r, i l'eix vertical mostra el valor de x que tendix a l'infinit. Ademés, dit diagrama és un fractal: si es fa un "zoom" entorn al valor mencionat de 3.828... i se centra en una de les tres branques, la situació s'assembla a una versió llimitada, alguna cosa distorsionada, de tot el diagrama. Lo mateix pot dir-se de tots els demés punts no caòtics.

Diagrames de forcall de mapes que complixen el criteri de Feigenbaum: $x_{n+1}=f(x_n)$. De dalt a avall: Aplicació llogística $f(x)=rx(1-x)$, Regla de iteración de Mandelbrot $f(x)=x^2+r$, Model de làser discret $f(x)=rx(1-tanh(x))$ i $f(x)=sin(rx)$. Generats en Python en el còdic proveït en.