Aplicació progrediente

Si una aplicació, φ, aplica cada punt d'una varietat diferenciable M a un punt d'una varietat N, llavors el pushforward de φ aplica vectores de l'espai tangente en cada punt de M a vectores de l'espai tangente a cada punt de N.

La aplicació progrediente o pushforward és una aplicació associada a una aplicació entre varietats diferenciables, que permet associar camps tensoriales definits sobre la primera varietat en camps definits sobre la segona.

Suponga's que φ : M → N és una aplicació diferenciable entre varietats diferenciables; llavors la [aplicació] diferencial de φ en un punt x és, en un cert sentit, la millor aproximació llineal de φ al voltant del punt x. És dir, generalisa el concepte de derivada o matriu jacobiana d'una funció de n variables del càlcul ordinari. Explícimente és una aplicació llineal que va des del espai tangente a M en el punt x a l'espai tangente a N en el punt φ(x). D'ahí, que s'use el terme push 'espentar' en anglés o progrediente (del llatí prōgrediens 'que alvança cap a davant') ya que "du cap a davant" vectores de M fins a superpondre'ls en vectores de N.

La diferencial diferancial (també cridada aplicació tangente) associada a una aplicació φ també és cridada simplement derivada o derivada total de φ, i a voltes es diu inclús pushforward.

Motivació

Siga φ:O→V una aplicació diferenciable des d'un conjunt obert O de R^m fins a un conjunt obert V de Rⁿ. Per a qualsevol punt x de O, la matriu jacobiana de φ en el punt x (sobre les coordenades estàndar) de fet resulta ser la matriu de components de l'aplicació diferencial associada a φ en el punt x, que naturalment és una aplicació llineal:

$\mathrm{d}{\phi }_x:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$

de R^m a Rⁿ.

L'aplicació progrediente pretén generalisar açò al cas en que φ siga una aplicació contínua entre dos varietats diferencials qualsevol M i N. Ademés l'aplicació progrediente pot generalisar-se a objectes tensoriales definits sobre l'espai tangente a una varietat.

Diferencial d'una aplicació diferenciable

Siga φ: M → N una aplicació llineal entre varietats diferenciables. Donat un cert x ∈ M, la diferencial de φ en el punt x és una aplicació llineal:

$\mathrm{d}{\phi }_x:T_{x}M\to T_{\phi (x)}N$

definida en l'espai tangente de M en el punt x a l'espai tangente de N en el punt φ(x). L'aplicació dφ_x del espai vectorial tangente X es diu aplicació progrediente o pushforward de X per φ. La definició exacta d'esta aplicació progrediente depén de la definició que un use per als vectores tangentes.

Per eixemple, si els vectores tangentes en un punt x es definixen com classes d'equivalència de les curves que passen a través de x llavors l'aplicació diferencial ve donada per:

$\mathrm{d}{\phi }_x({\gamma }^{\prime }(0))=(\phi \circ \gamma {)}^{\prime }(0).$

a on γ és una curva sobre M que complix que γ(0) = x. En atres paraules, l'aplicació progrediente del vector tangente a la curva γ en 0 és precisament el vector tangente a la curva φ∘γ en 0.

Per una atra part, si els vectores tangentes es definixen com derivació que actuen sobre funcions reals diferenciables, llavors la diferencial ve donada per

$\mathrm{d}{\phi }_x(X)(f)=X(f\circ \phi )$

Ací X ∈ T_xM, i per tant X és una derivació definida sobre M i f és una funció real sobre N. Per definició, l'aplicació progrediente de X en un punt donat x de M pertany a T_φ(x)N i per tant és una derivació.

Triant cartes locals al voltant de x i φ(x), F ve determinada localment per l'aplicació diferenciable:

$\hat{\phi }:U\to V$

entre conjunts oberts de R^m i Rⁿ i dφ_x té representació (en x):

$\mathrm{d}{\phi }_x\left(\frac{\partial }{\partial u^a}\right)=\frac{\partial {\hat{\phi }}^b}{\partial u^a}\frac{\partial }{\partial v^b},$

usat el conveni de sumación d'Einstein, a on les derivades parcials s'evaluen en el punt de O que correspon a x en la carta local donada. Estenent per linealidad açò dona la següent matriu:

$(\mathrm{d}{\phi }_x{)}_a^b=\frac{\partial {\hat{\phi }}^b}{\partial u^a}.$

Per tant la diferencial és una aplicació llineal, entre espais tangentes, associats a l'aplicació diferenciable φ en cada punt. Per tant, en certes coordenades locals, es representa per una matriu jacobiana de R^m en Rⁿ. En general, la diferencial no té perqué ser invertible (per eixemple si m > n, pero no només en eixos casos). Si φ és un difeomorfismo local, llavors l'aplicació progrediente en x és invertible i la seua inversa dona precisament l'aplicació regrediente en T_φ(x)N.

L'aplicació diferencial freqüentment s'expressa usant una gran varietat de notacions distintes, entre les més comunes són:

$D{\phi }_x,({\phi }_{*}{)}_x,{\phi }^{\prime }(x).$

Se seguix de la definició que l'aplicació diferencial d'una composició d'aplicacions és la composició d'aplicacions diferenciables. Eixe fet és l'equivalent de la regla de la cadena per a aplicacions diferenciables entre varietats. Aixina mateix, l'aplicació diferencial d'un difeomorfismo local és un isomorfisme llineal d'espais vectorials tangentes.

Vore també

• Aplicació regrediente

Referències

• John M. Llig, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.