Arcotangente

En trigonometria, la arcotangente es definix com la funció inversa de la tangente d'un àngul. Simbolisada:

y = arctg α

el seu significat geomètric és l'arc $y$ (en radianes) que la seua tangente és $α$ .

La funció tangente no és biyectiva, per lo que no té funció inversa definida en tot el seu domini. És possible aplicar-li una restricció del domini de modo que es torne inyectiva i sobreyectiva. Per conveni és preferible restringir el domini de la funció tangente al interval obert $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Notació

La notació matemàtica de la arcotangente és arctan; és comú l'escritura ambigua tan^-1. En diversos llenguages de programació se solen utilisar les formes ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG i ATG.

Propietats

És una funció contínua i derivable, de classe $𝒞^{\infty}$ (és dir, existixen les seues derivades de tots els órdens).

És una funció impar, o siga que $arctg (- x) = - arctg (x)$ .

Alguns valors especials

arctg (0) = 0

arctg (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{π}{6}

arctg (1) = \frac{π}{4}

arctg (\sqrt{3}) = \frac{π}{3}

Llímits en infinit

\lim_{x \to \infty} arctg (x) = \frac{π}{2}

\lim_{x \to - \infty} arctg (x) = - \frac{π}{2}

Derivades i creiximent

$(arctg (x))^{'} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

En particular, resulta ser una funció estrictament creixent.

$(arctg (x))^{″} = - \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}$ , que és positiu en $ℝ^{-}$ i negatiu en $ℝ^{+}$ .

Integral indefinida

Utilisant el método d'integració per parts pot calcular-se una funció primitiva de $arctg (x)$ :

$\int arctg (x) d x =$ $\int arctg (x) \cdot 1 d x =$ $arctg (x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} d x =$ $arctg (x) \cdot x - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C$

Série de Maclaurin

arctg x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} para | x | < 1.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Arcotangente» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.