Complex de cadenes

Archiu:Chain map.svg

Complex de cadenes

En àlgebra abstracta un conjunt $\{A_i,{\delta }_i\}$ consistent en estructures algebraiques $A_i$ (ya siga grups abelianos o anells o mòduls o espais vectorials) i ${\delta }_i$ morfismos (segons siga la categoria), es diu complex de cadenes si la construcció

$\dots \to A_{n+1}\begin{array}{c}{\delta }_{n+1}\\ \to \\ \end{array}{A}_n\begin{array}{c}{\delta }_n\\ \to \\ \end{array}{A}_{n-1}\to \dots$

satisfà ${\delta }_n\circ {\delta }_{n+1}=0$. Esta última condició implica $\mathrm{im}{\delta }_{n+1}\subseteq \ker {\delta }_n$ per a tota $n$. Este concepte és clau per a entendre lo que és la homologia.

Notació

El símbol $A_{\bullet }$ s'utilisa per a designar al parell $\{A_i,{\delta }_i\}$.

L'homologia

A les estructures cocient

$H_n(A_{\bullet })=\frac{\ker {\delta }_n}{\mathrm{i}\mathrm{m}{\delta }_{n+1}}$

se'ls crida grups d'homologia del complex de cadenes $A_{\bullet }$

Esta última construcció és molt important en la topología algebraica, puix conforma una de les seues principals ferramentes.

Referències

Bibliografia

• Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, Birkhäuser, 1989. ISBN 0-8176-3388-X, ISBN 3-7643-3388-X

Vore també

• functores
• cohomología.