Concoide de Nicomedes

Archiu:Conchoid of Nicomedes.png

Tres casos de la concoide de Nicomedes segons el valor de la distancia k que s'afig a cada ràdio vector (el punt roig és el pol, i la recta base -en color negre- dista del pol d=1):
[a] k=2 (blava) [b] k=1 (verda) [c] k=1/2 (roig)

La concoide de Nicomedes és una curva plana ideada pel matemàtic grec Nicomedes, que va viure aproximadament al mateix temps que Arquímedes en el II El nom de concoide, procedent de la paraula grega "κογχοειδής", fa referència a que la forma de la curva recorda al perfil d'una closca. És un tipo de concoide els radis de la qual vectores traçats des d'un punt fix tallen a una recta (denominada "base") a una distància constant.

Donada una recta base paralela al eix polar situada a una distancia d de l'orige, i una distància fixa k que se situa sobre cada ràdio vector a partir del punt en el que creua la recta base (tant per darrere com per davant), l'equació en coordenades polars de la concoide de Nicomedes és:

$\rho =\frac{d}{cos\omega }+k$

que, en coordenades cartesianas pren la forma:

$(x-d{)}^2(x^2+y^2)=k^2{x}^2$

La relació entre els paràmetros d i k determina l'aspecte de les dos branques de la curva.

Construcció

Pol (orige O), eix polar (roig), recta base m i distància fixa k (AP=AP')

Es fixa un punt $O$ (cridat pol) i una llínea recta $m$ distant $d$ de $O$. Es considera ara una segona llínea recta genèrica que passa per $O$, que creua la llínea $m$ en $A$. En esta recta, en abdós costats sobre $A$ s'afigen dos segments $AP=A{P}^{\prime }$ cada u de llongitut $k$. El lloc geomètric dels punts $P$ i $P^{\prime }$ obtinguts al rotar la llínea recta $m$ passant per $O$ es denomina concoide de Nicomedes. La part de la curva més alluntada de $O$ (és dir, $P$) es denomina branca externa; i l'atra part rep el nom de branca interna.

És immediat comprovar que per a un sistema de coordenades polars, l'equació de la concoide pren la forma

$\rho =\frac{d}{\cos \theta }+k.$

Fent coincidir el punt $O$ en l'orige d'un sistema d'eixos cartesianos $xOy$; i prenent una recta base paralela a l'eix $y$ a una distancia d de l'orige, i una distancia k a aplicar sobre els radis vectores, l'equació cartesiana de la curva és:

$(x^2+y^2)(x-d{)}^2=k^2{x}^2.$

Per un atre costat, les equacions paramètriques prenen la forma:

$\{\begin{array}{c}x=d+k\cos \theta \\ y=d\tan \theta +k\sin \theta .\end{array}$

Construcció de tangentes i normals

Normal d'una concoide de Nicomedes

René Descartes va incloure en la seua obra "La Géométrie" (La Geometria) explica un método que permet dibuixar la normal i, per lo tant, la tangente de la concoide de Nicomedes.

Ací s'expon breument:

Es desija traçar la normal d'una concoide de Nicomedes en pol A i mòdul b en un punt C. La llínea directriu d'esta concoide es dirà (BH), a on B és tal que (AB) i (CH) són perpendiculars a (BH).

• Dibuixar el segment [CE] de modo que I siga l'intersecció entre les llínees (BH) i (CA).
• Colocar el punt F de manera que F pertanyga a [CE] i CF=CH.
• Colocar el punt G en la llínea perpendicular a (BH) i passant per F de modo que FG=EA.
• La llínea (CG) és llavors la normal a la curva en C.

Trisecció d'un àngul

Trisecció d'un àngul AÔB

La curva es pot utilisar per a resoldre el problema de la trisecció de l'àngul. Siga AÔB un àngul arbitrari. Des d'un punt qualsevol $L$ del costat $OB$ es traça la perpendicular $LD$ al costat $OA$, i es considera la concoide construïda sobre la recta $LD$ sobre el pol $O$ de constant $k=2OL$. La recta paralela a $OA$ traçada des de $L$ es troba en la branca externa de la concoide en $C$. Unint $C$ en $O$, llavors es té que

AÔC = $\frac{1}{3}$ AÔB

L'inconvenient d'este procediment és que obligaria a traçar una concoide a mida de cada àngul que es desija trisecar, encara que basta utilisar el método neusis per a ajustar una regla en dos marques (situades al doble de la distància OL), entre les rectes $m$ i $l$; que ademés deu passar per l'orige. Açò no succeïx en atres trisectrices (com per eixemple, la trisectriz de Maclaurin), que permeten trisecar qualsevol àngul en la mateixa curva.

Demostració

Concoides de Nicomedes

Sean $N$ el punt d'intersecció de $OC$ en $LD$ i $M$ el punt mig de $CN$. Per la definició de concoide, es té que:

$CN=k=2OL$

i per lo tant

$CM=MN=OL=\frac{k}{2}.$

Per un atre costat, $NLC$ és un àngul recte, després $LM$, com la mijana relativa a l'hipotenusa $CN$ del triàngul rectàngul $CLN$, és la mitat de l'hipotenusa en sí, és dir

LM = NM = OL.

D'això es deduïx que els triànguls $LOM$, $LMC$ i $LMN$ són isósceles i per tant:

LÔM = NML = 2 LĈM

Pero LCM = COA perque són ànguls alterns interns i per lo tant LÔM = 2 CÔA o també

BÔA = LÔA = 3 CÔA

com queda demostrat.

Vore també

• Concoide
• Caragol de Pascal