Conjectura de Dyson

Freeman Dyson, 2005

En el món de les matemàtiques, la conjectura de Dyson és una conjectura que parla sobre el terme constant de certs polinomis de Laurent, demostrada per Wilson i Gunson. Andrews va generalisar açò en la conjectura de q-Dyson, demostrada per Zeilberger i Bressoud i a voltes cridat també teorema de Zeilberger-Bressoud. Macdonald ho va generalisar a sistemes raïls més generals en la conjectura de terme constant de Macdonald, que va ser demostrada per Cherednik.

La conjectura de Dyson

La conjectura de Dyson afirma i diu que el polinomi de Laurent

\prod_{1 \leq i \neq j \leq n} (1 - t_{i} / t_{j})^{a_{i}}

té el terme constant següent:

\frac{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})!}{a_{1}! a_{2}! \dots a_{n}!} .

Wilson i Gunson varen conseguir demostrar la conjectura per primera volta de forma independent. Després, Good va trobar una prova curta despuix d'observar que els polinomis de Laurent, i, per tant, els seus térmens constants, satisfan les relacions de recursión.

F (a_{1}, \dots, a_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} F (a_{1}, \dots, a_{i} - 1, \dots, a_{n}) .

En el cas n = 3 de la conjectura de Dyson, es desprén esta de l'identitat de Dixon.

Sills, Zeilberger i Sills varen utilisar un ordenador per a poder trobar expressions per als coeficients no constants de Dyson del polinomi Laurent.

L'integral de Dyson

Quan tots els valors a _i són igual a β/2, el terme constant en la conjectura de Dyson és el valor de la integral de Dyson.

\frac{1}{(2 π)^{n}} \int_{0}^{2 π} \dots \int_{0}^{2 π} \prod_{1 \leq j < k \leq n} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{β} d θ_{1} \dots d θ_{n} .

L'integral de Dyson es tracta d'un cas especial de l'integral de Selberg despuix d'un canvi de variable, i val lo següent:

\frac{Γ (1 + β n / 2)}{Γ (1 + β / 2)^{n}}

I que açò nos dona una prova més de la conjectura de Dyson en este cas especial.

Bibliografia

(1975).Academic Press.Boston, MA:
(1995).The Annals of Mathematics.141(1)doi:10.2307/2118632.
(1962).Mathematical Physics.3ISSN 0022-2488.doi:10.1063/1.1703773.
(1970).Mathematical Physics.11(6)ISSN 0022-2488.doi:10.1063/1.1665339.
(1962).Mathematical Physics.3(4)ISSN 0022-2488.doi:10.1063/1.1724277.
(1982).SIAM publisher on Mathematical Analysis.13(6)ISSN 0036-1410.doi:10.1137/0513070.
(2006).Combinatorial Theory, Séries A.113(7)ISSN 1096-0899.doi:10.1016/j.jcta.2005.12.005.
(2006).Experimental Mathematics.15(2)ISSN 1058-6458.doi:10.1080/10586458.2006.10128959.

(1962).Mathematical Physics.3(5)ISSN 0022-2488.doi:10.1063/1.1724291.
(1985).Discrete Mathematics.54(2)ISSN 0012-365X.doi:10.1016/0012-365X(85)90081-0.

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjetura de Dyson» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.