Conjunt multibrot
En matemàtiques, un conjunt multibrot és el conjunt de valors en el pla complex el valor absolut del qual permaneix per baix d'algun valor finito en les iteraciones d'un membre de la família general dels polinomis mónicos d'una variable recursivos.[1][2][3] El nom és una paraula catalejo formada a partir dels térmens "múltiple" i "conjunt de Mandelbrot". El mateix principi es pot aplicar al conjunt de Julia per a obtindre el conjunt multijulia.
a on "d" ≥ 2. L'exponent d pot generalisar-se encara més a valors negatius i fraccionarios.[4]
Eixemples[5][6]
[editar | editar còdic]El cas de
és el conjunt de Mandelbrot clàssic del que es deriva el nom del conjunt
Els conjunts per a atres valors de d també mostren imàgens fractales[7] quan es tracen en el pla complex.
Cada u dels eixemples de distintes potencies d que es mostren a continuació es representen en la mateixa escala. Els valors de c pertanyents al conjunt re representen en color negre. Els valors de c que tenen un valor illimitat baix el procediment recursivo, i per lo tant no pertanyen al conjunt, es tracen en diferents colors, que es mostren com a contorns, depenent del número de recursiones que varen causar que un valor excedixca una magnitut fixa en l'algoritme de temps d'escape.
Potències positives
[editar | editar còdic]
L'eixemple d = 2 és el conjunt original de Mandelbrot. Els eixemples de d > 2 a sovint es denominen "conjunts multibrot". Estos conjunts inclouen l'orige i posseïxen perímetros fractales, en simetria rotacional de (d −1)-lòbuls.
Potències negatives
[editar | editar còdic]Quan d és negatiu, el conjunt rodeja pero no inclou l'orige. Hi ha un comportament complex interessant en els contorns entre el conjunt i l'orige, en un àrea en forma d'estrela en simetria rotacional de (1 − d)-lòbuls. Els conjunts semblen tindre un perímetro circular, no obstant, açò és solament un efecte del radi màxim fix permés per l'algoritme de temps d'escape, i no és un llímit dels conjunts, que realment s'estenen en totes les direccions fins a l'infinit.
Potències fraccionarias
[editar | editar còdic]
L'aspecte d'alguns conjunts multibrot en exponent fraccionario es mostra en l'image de la dreta.
Renderizado en l'exponent
[editar | editar còdic]Un método alternatiu és representar l'exponent en l'eix vertical. Açò requerix fixar el valor real o imaginari i representar el valor restant en l'eix horisontal. El conjunt resultant s'eleva verticalment des de l'orige en una columna estreta fins a l'infinit. L'ampliació revela una complexitat creixent. La primera protuberància o pico prominent es veu en un exponent de 2, l'ubicació del conjunt tradicional de Mandelbrot en la seua secció travessera. La tercera image ací es representa en un pla que es fixa en un àngul de 45 graus entre els eixos real i imaginari. [8]
Representació d'imàgens
[editar | editar còdic]
Totes les imàgens anteriors es renderizan per mig d'un algoritme de Temps d'Escape que identifica punts fora del conjunt de forma senzilla. Es revela un detall fractal molt major en traçar l'exponent de Lyapunov,[9] com es mostra en el següent eixemple. L'exponent de Lyapunov és la taxa de creiximent de l'error d'una seqüència donada. Primer, calcular la seqüència de iteración en N iteraciones, i després calcular l'exponent com
i si l'exponent és negatiu, la seqüència és estable. Els píxels blancs en l'image són els paràmetros c per als quals l'exponent és positiu, també conegut com a inestable. Els colors mostren els periodos dels cicles que atrauen les òrbites. Tots els punts de color blau obscur (exterior) són atrets per un punt fix, tots els punts del mig (blau més clar) són atrets per un cicle de periodo 2 i aixina successivament.
Pseudocódigo
[editar | editar còdic]ALGORITMO TIEMPO DE ESCAPE
--------------------------
for each pixel on the screen do
x = x0 = x co-ordinate of pixel
i = i0 = i co-ordinate of pixel
iteration := 0
max_iteration := 1000
while (xx + ii ≤ (2*2) and iteration < max_iteration do
/* INSERT CODE(S)FOR Z^d FROM TABLE BELOW */
iteration := iteration + 1
if iteration = max_iteration then
colour := black
else
colour := iteration
plot(x0, i0, colour)
El valor complex z té coordenades (x, i) en el pla complex i s'eleva a vàries potències dins del cicle de iteración per mig dels còdics que es mostren en esta taula. Les potències que no es mostren en la taula es poden obtindre concatenant els còdics mostrats.
| z−2 | z−1 | z2 (conjunt de Mandelbrot) | z3 | z5 | zn |
|---|---|---|---|---|---|
d=x^4+2x^2i^2+i^4 if d=0 then ESCAPE xtmp = (x^2-i^2)/d+a i = -2xi/d+b x = xtmp |
d=x^2+i^2 if d=0 then ESCAPE x = x/d + a i= -i/d + b |
xtmp=x^2-i^2 + a i=2xi + b x=xtmp |
xtmp=x^3-3xi^2 + a i=3x^2i-i^3 + b x=xtmp |
xtmp=x^5-10x^3i^2+5xi^4 + a i=5x^4i-10x^2i^3+i^5 + b x=xtmp |
xtmp=(xx+ii)^(n/2)*cos(nnuguen2(i,x)) + a i=(xx+ii)^(n/2)sense(nnuguen2(i,x)) + b x=xtmp |
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ «Definition of multibrots». Consultat el 2008-09-28.
- ↑ «Multibrots». Consultat el 2008-09-28.
- ↑ Wolf Jung. «Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set». «The Multibrot set Md is the connectedness locus of the family of unicritical polynomials zd + c, d ≥ 2»
- ↑ «WolframAlpha Computation Knowledge Engine».
- ↑ «23 pretty JavaScript fractals». Archivat des d'el original, el 2014-08-11.
- ↑ «Javascript Fractals». Archivat des d'el original, el 2014-08-19.
- ↑ «Animated morph of multibrots d = −7 to 7». Consultat el 2008-09-28.
- ↑ Fractal Generator, "Multibrot Slice"
- ↑ Ken Shirriff«An Investigation of Fractals Generated by z → 1/zn + c».Computers & Graphics.17(5)
- 603–607.doi:10.1016/0097-8493(93)90012-x.Consultat el 2008-09-28.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto multibrot» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.