Coordenades de Rindler

Archiu:Rindler chart.svg

Coordenades de Rindler

En física relativista, la carta de coordenades de Rindler és una important i útil carta de coordenades representant part del espai-temps pla, també cridat el buit de Minkowski. La carta de Rindler va ser introduïda per Wolfgang Rindler. El marc o sistema de coordenades de Rindler descriu un marc de referència uniformemente accelerat en l'espai de Minkowski. En relativitat especial, una partícula uniformemente accelerada du un moviment hiperbòlic. Per a cada partícula pot triar-se un marc de Rindler per al qual esta es troba en repòs.

Relació en la carta Cartesiana

Per a obtindre la carta de Rindler, es comença en la carta cartesiana

$d{s}^2=-d{T}^2+d{X}^2+d{Y}^2+d{Z}^2,-\mathrm{\infty }<T,X,Y,Z<\mathrm{\infty }$

En la regió $0<X<\mathrm{\infty }$, $-X<T<X$, que és a voltes cridada la falca de Rindler, es definix la nova carta usant la transformació de coordenades

$t=\mathrm{arctanh}(T/X),x=\sqrt{X^2-T^2},y=Y,z=Z$

La transformació inversa és

$T=x\sinh (t),X=x\cosh (t),Y=y,Z=z$

En la carta de Rindler, l'element de llínea de Minkowski es convertix en

$d{s}^2=-x^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,0<x<\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<t,y,z<\mathrm{\infty }$

Els observadors de Rindler

En la nova carta, és natural prendre el camp de co-marc

$d{\sigma }^0=-xdt,d{\sigma }^1=dx,d{\sigma }^2=dy,d{\sigma }^3=dz$

el qual té el camp de marc dual

${\overrightarrow{e}}_0=\frac{1}{x}{\partial }_t,{\overrightarrow{e}}_1={\partial }_x,{\overrightarrow{e}}_2={\partial }_y,{\overrightarrow{e}}_3={\partial }_z$

Açò definix un marc local de Lorentz en l'espai tangente en cada event (en la regió coberta per la carta de Rindler, a saber, la falca de Rindler). Les curves integrals del camp de vectores unitaris tipo temps ${\overrightarrow{e}}_0$ donen una congruència tipo temps, consistent en les llínees d'univers d'una família d'observadors cridats els observadors de Rindler. En la carta de Rindler, estes llínees d'univers apareixen com les llínees de la coordenada vertical $x=x_0,y=y_0,z=z_0$. Usant la transformació de coordenades anterior, trobem que estes corresponen a arcs d'hipérbola en la carta cartesiana original.

Alguns observadors de Rindler representatius (arcs hiperbòlics blau marí) dibuixats usant la carta cartesiana.

Alguns observadors de Rindler representatius (arcs hiperbòlics blau marí) dibuixats usant la carta cartesiana.

Com en qualsevol congruència tipo temps en qualsevol varietat Lorentziana, esta congruència té una descomposició cinemàtica (vore equació de Raychaudhuri). En este cas, la expansió i vorticidad de la congruència dels observadors de Rindler s'anula. L'anulació del tensor d'expansió implica que cada u dels observadors manté una distància constant en els seus veïns. L'anulació del tensor de vorticidad implica que les llínees d'univers dels observadors no estan rotando unes sobre unes atres; est és un tipo d'absència local de "arremolinamiento".

El vector acceleració de cada observador ve dau per la derivada covariant

${\mathrm{\nabla }}_{{\overrightarrow{e}}_0}{\overrightarrow{e}}_0=\frac{1}{x}{\overrightarrow{e}}_1$

Açò és, cada observador de Rindler està accelerant en la direcció ${\partial }_x$. Individualment parlant, cada observador està de fet accelerant en magnitut constant en esta direcció, per lo que les seues llínees d'univers són els anàlecs Lorentzianos de les cirunferencias, que són les curves de curvatura constant en la geometria euclídea.

Degut a que els observadors de Rindler estan lliures de vorticidad, són també una hipersuperficie ortogonal. Les hiperrebanadas espacials ortogonals són $t=t_0$; estes apareixen com semiplanos horisontals en la carta de Rindler i com semiplanos travessant $T=X=0$ en la carta cartesiana (vore la figura dalt). Fent $dt=0$ en l'element de llínea, veem que estes tenen la geometria eclidiana ordinària, $d{\sigma }^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2,0<x<\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<y,z<\mathrm{\infty }$. Aixina, les coordenades espacials en la carta de Rindler tenen una interpretació molt simple consistent en l'afirmació de que els observadors de Rindler són mutumente estacionarios. Tornarem a esta propietat de rigidea dels observadors de Rindler una miqueta més vesprada en este artícul.

Referències

• Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, New York: Academic Press. ISBN 0-12-116052-1. See Chapter 4 for background concerning vector fields on smooth manifolds.

• Frankel, Theodore (1979). Gravitational Curvature: an Introduction to Einstein's Theory, Sant Francisco : W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1062-5. See Chapter 8 for a derivation of the Fermat metric.

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation, Sant Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. See Section 6.6.

• Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological, Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0.

• Jacobson, Ted; and Parenti, Renaud(2003).Found. Phys..33

323–348.doi:10.1023/A:1023785123428. eprint version

• Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; and Visser, Matt. «Analogue Gravity». Living Reviews in Relativity. Archivat des d'el original, el 22 de febrer de 2012. Consultat el 6 de maig de 2006.