Cos de Levi-Civita

En matemàtiques, el cos de Levi-Civita, cridat aixina per Tullio Levi-Civita, és un cos ordenat no-arquimediano; és dir, un sistema numèric que conté cantitats infinites i infinitesimos. Cada membre $a$ es pot construir com una série formal de potències de la forma:

a = \sum_{q \in ℚ} a_{q} ε^{q}

a on $a_{q}$ són número real, $ℚ$ és el conjunt de número racional, i $ε$ deu interpretar-se com un infinitesimal positiu. El soport de $a$ , és dir, el conjunt d'índexs dels coeficients diferents de zero ${q \in ℚ : a_{q} \neq 0},$ deu ser un conjunt “finito per l'esquerra”: per a qualsevol membre de $ℚ$ , solament hi ha una cantitat finita d'elements menors que ell. Esta restricció és necessària per a que la multiplicació i la divisió estiguen ben definides i tinguen unicitat. L'orde es definix d'acort en l'orde lexicogràfic de la llista de coeficients, que és equivalent a la suposició de que $ε$ és un infinitesimo.

El cos de Levi-Civita conté un subconjunt isomorfo als número real (per lo que poden considerar es partix d'ell), com les séries en les que tots els coeficients desapareixen llevat $a_{0}$ .

Eixemples

$7 ε$ és un infinitesimo major que $ε$ , pero menor que tot número real positiu.
$ε^{2}$ és menor que $ε$ , i també és menor que $r ε$ per a qualsevol $r$ real positiu.
$1 + ε$ diferix infinitesimalment d'1.
$ε^{\frac{1}{2}}$ és major que $ε$ , pero encara menor que cada número real positiu.
$1 / ε$ és major que qualsevol número real.
$1 + ε + \frac{1}{2} ε^{2} + \dots + \frac{1}{n!} ε^{n} + \dots$ s'interpreta com $e^{ε}$ .
$1 + ε + 2 ε^{2} + \dots + n! ε^{n} + \dots$ és un membre vàlit del cos, perque la série deu interpretar-se formalment, sense cap consideració de convergència.

Definició de les operacions de cos i con positiu

Si $f = \sum_{q \in ℚ} f_{q} ε^{q}$ i $g = \sum_{q \in ℚ} g_{q} ε^{q}$ són dos séries de Levi-Civita, llavors

la seua suma $f + g$ és la suma puntual $f + g : = \sum_{q \in ℚ} (f_{q} + g_{q}) ε^{q}$ .
el seu producte $f g$ és el producte de Cauchy $f g : = \sum_{q \in ℚ} \sum_{a + b = q} (f_{a} g_{b}) ε^{q}$ .

(Es pot comprovar que el soport d'esta série és finito a l'esquerra i que per a cada u dels seus elements $q$ , el conjunt ${(a, b) \in ℚ \times ℚ : a + b = q \land f_{a} \neq 0 \land g_{b} \neq 0}$ és finito, per lo que el producte està ben definit).

La relació $0 < f$ es manté si $f \neq 0$ (és dir, $f$ té soport no buit) i el coeficient mínim distint de zero de $f$ és estrictament positiu.

Equipat en estes operacions i l'orde lexicogràfic, el cos de Levi-Civita és de fet una extensió de cos ordenada de $ℝ$ a on la série $ε$ és un infinitesimal positiu.

Vore també

Referències

Enllaços exteriors

A web-based calculator for Levi-Civita numbers

Este artícul conté una traducció derivada de «Cuerpo de Levi-Civita» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.