Curva de Lissajous

Erro al crear miniatura:

Curva de Lissajous

Erro al crear miniatura:

Curva de Lissajous en un osciloscopi.

Erro al crear miniatura:

Curva de Lissajous en tres dimensions.

En matemàtiques, la curva de Lissajous, també coneguda com a figura de Lissajous o curva de Bowditch, és la gràfica del sistema d'equacions paramètriques corresponent a la superposició de dos moviments harmònics simples en direccions perpendiculars:

Esta família de curves va ser investigada per Nathaniel Bowditch en 1815 i despuix, en majors detalls, per Jules Antoine Lissajous.

En mecànica clàssica, la trayectòria d'un moviment harmònic complex bidimensional és una curva de Lissajous.

Propietats

L'apariència de la figura és molt sensible a la relació ${\omega }_x/{\omega }_y$, açò és, la relació entre les freqüències dels moviments en x i i. Per a un valor d'1, la figura és una elipse, en els casos especials del círcul (A = B, δ = π/2 radianes) i de les rectas (δ = 0) inclosos. Una atra de les figures simples de Lissajous és la paràbola (${\omega }_x/{\omega }_y$ = 2, δ = π/2). Atres valors d'esta relació produïxen curves més complicades, que solament són tancades si ${\omega }_x/{\omega }_y$ és un número racional, açò és, si ${\omega }_x$ i ${\omega }_y$ són conmensurables. En el cas de que el cocient de freqüència no siga un número racional, la curva ademés de no ser tancada, és un conjunt dens sobre un rectàngul, la qual cosa significa que la curva passa arbitrariamente prop de qualsevol punt de dit rectàngul.

En el cas de que el cocient sí siga un número racional, llavors existiran dos número natural, n_x i n_i, tals que

i, òbviament, el periodo del moviment resultant és el valor de T

$T=n_x{T}_x=n_y{T}_y$

obtingut utilisant els valors més menuts que satisfacen la relació (fracció irreducible).

L'apariència d'estes curves a sovint sugerix un nuc de tres dimensions o atres tipos de nucs, incloent els coneguts com a nucs de Lissajous, proyecció en el pla de les figures de Lissajous.

Us en logotips

Les figures de Lissajous són usades com logotips. Eixemples d'estos logotips són el d'Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) i el del Lincoln Laboratory at MIT (a = 8, b = 6, δ = 0). Les curves de Lissajous poden ser traçades mecánicamente per mig d'un armonógrafo.

• Erro al crear miniatura:
  $a=1,b=2$
• Erro al crear miniatura:
  $a=3,b=2$
• Erro al crear miniatura:
  $a=3,b=4$
• Erro al crear miniatura:
  $a=5,b=4$
• Erro al crear miniatura:
  $a=5,b=6$
• Erro al crear miniatura:
  $a=9,b=8$

Erro al crear miniatura:

Figures de Lissajous: diverses raons de freqüència en distintes diferències de fase.

Vore també

• Moviment harmònic simple
• Oscilador harmònic

Referències

Bibliografia

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums) (en espanyol), Monytex.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en anglés), Nova York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.

Enllaços externs

• Curva de Lissajous en MathWorld.
• Figures de Lissajous animades en Java
• Sobre el logo de Australian Broadcasting Corporation [1] archivat en Wayback Machine.

• Sobre el logo de MIT Lincoln Laboratory
• Ferramenta lliure QLiss3D mostrant figures de Lissajous en 3D
• Lissajous: Visualisació interactiva mostrant l'identitat circular