Dens en ninguna parte

En topología, un subconjunt A d'un espai topològic X es diu dens en ninguna parte, o també, disseminat en X, si l'interior del seu clausura és buit.

Destaquem el paper de l'espai ambiente: un conjunt A pot ser dens en ninguna parte considerat com subespacio de X, pero no com subespacio de I. Tal és el cas de l'eix d'abscisses en R²: és dens en ninguna parte en R², pero no com a subconjunt de sí mateixa.

Eixemples

En R, qualsevol conjunt finito, el conjunt dels sancers o el conjunt de Cantor formen subconjunts de la recta real densos en ninguna parte. En R², qualsevol curva tancada simple forma un subconjunt dens en ninguna parte.

Propietats

Tot subconjunt dens en ninguna parte és residual, és dir, el seu complement és dens.

La classe de conjunts densos en ninguna parte és tancada baix certes operacions: De modo trivial s'observa que un subconjunt és dens en ninguna parte si i solament si ho és la seua clausura. Un subconjunt qualsevol d'un subconjunt dens en ninguna parte també ho és. La unió finita de subconjunts densos en ninguna parte també ho és. No succeïx lo mateix en l'unió numerable, com a mostra tenim l'eixemple dels racionals vists com a unió de conjunts finitos. De fet, a l'unió numerable de tals subconjunts se li denomina conjunt de primera categoria, terme falcat per Baire en 1899 per a formular el hui conegut com Teorema de Baire.

Referències

• K. D. Joshi, Introduction to General Topology, New Age Publishers, 1983. ISBN 0852264445