Densitat d'estats

Gràfica que representa la densitat d'estats front a la energia per a un gas d'electrons lliures tridimensional.

La densitat d'estats (DOS) en un sistema físic caracterisa el número existent d'estats per cada interval d'energia. En un sistema quàntic finito (partícula en un pou) existix un número discret d'estats possibles de l'energia, de modo que la densitat d'estats serà una distribució discreta; en canvi en sistemes infinits les energies accessibles formen un continu de modo que la densitat d'estats formarà també un continu. La densitat d'estats depén essencialment del tipo d'interacció del sistema (ya que és esta la que determina la cuantización de les energies). És un concepte central en física estadística ya que el comportament de la densitat d'estats marca el comportament del sistema.

En física d'estat sòlit i física de matèria condensada, la densitat d'estats (DOS de l'anglés "Density of states") d'un sistema descriu la cantitat d'estats que es poden ocupar en cada nivell d'energia.

La densitat d'estats $\frac{D(E)}{V}=N(E)$ es definix com el número d'estats del sistema ($N(E)\delta E$) les energies del qual prenen els valors compresos entre I i $E+\delta E$.

Matemàticament es representa com una funció de distribució de densitat de provabilitat, i generalment és un promig dels dominis d'espai i temps dels distints estats ocupats pel sistema. La densitat d'estats està directament relacionada en les relaciones de dispersió de les propietats del sistema. Una DOS (densitat d'estats) alta en un nivell d'energia específic vullgues a dir que hi ha molts estats disponibles per a ser ocupats.

En general, la DOS de la matèria és contínua. No obstant, en sistemes aïllats, com en el cas dels àtoms o molècules en fase gaseosa, la distribució de densitat és discreta. Les variacions locals, generades generalment per distorsió del sistema original, es coneixen en el nom 'densitat local d'estats (LDOS).

Introducció

En mecànica quàntica, les ones, o partícules en comportament similar, poden ocupar modos o estats en llongituts d'ona i direccions de propagació dictades pel sistema. Per eixemple, en alguns sistemes, l'espai inter atòmic i la càrrega atòmica d'un material podrien permetre que solament existixquen electrons de certes llongituts d'ona. En atres sistemes, l'estructura cristalina d'un material podria permetre que les ones es propaguen en una direcció, evitant la propagació en una atra direcció. A sovint, solament es permeten estats específics. Per lo tant, pot succeir que hi haja molts estats disponibles per a l'ocupació en un nivell d'energia determinat, mentres que no hi haja estats disponibles en nivells d'energia diferents.

Tots els estats de les bandes inferiors, conegudes com a bandes de valència, són ocupats per portadors de càrrega. En conseqüència, els estats de la banda d'energia superior, coneguda com a capa de conducció, pot estar parcialment ocupada. Estes bandes estan separades per una banda d'energia prohibida el valor mínim de la qual $E_g$ és cridat gap.

En observar la densitat dels estats dels electrons en la vora del gap en un semiconductor, per a un electró en la banda de conducció, un aument de l'energia electrònica fa que hi haja més estats disponibles per a ser ocupats. Alternativament, la densitat d'estat és discontínua per a un interval d'energia, lo que significa que no hi ha estats disponibles per a que els electrons ocupen dins de l'interval de banda del material. Esta condició també significa que un electró en la vora de la banda de conducció deu perdre a lo manco l'energia de separació de banda del material per a passar a un atre estat en la banda de valència.

Açò determina si el material és un aïllant o un metal en la dimensió de la propagació. Conéixer el número d'estats en una banda també és útil per a predir les propietats de conducció. En una estructura cristalina unidimensional, un número impar d'electrons per àtom dona com resultat una banda superior mig plena, de manera que hi ha electrons lliures en el nivell de Fermi i, per lo tant, un comportament propi en un metal. Per un atre costat, un número par d'electrons ompli exactament certs estats en les bandes, deixant el restant buit. Si el nivell de Fermi es troba en un interval de banda ocupat, el material serà un aïllant o un semiconductor.

Depenent del sistema mecànic quàntic, la densitat d'estats es pot calcular para electrons, fotons o fonones, i es pot donar en funció de l'energia o del vector d'ona k. Per a convertir entre el DOS (densitat d'estats) com a funció depenent de l'energia i el DOS com a funció depenent del vector d'ona, es deu conéixer la relació de dispersió d'energia específica del sistema entre I i k.

En general, les propietats topològiques del sistema, com l'estructura de les bandes, tenen un impacte important en les propietats de la densitat d'estats. Els sistemes més coneguts, com el neutronio en les estreles de neutrons i els gasos d'electrons lliures en els metals (eixemples de matèria degenerada i gas de Fermi), tenen una topología euclidiana tridimensional. Els sistemes com els gasos d'electrons bidimensionales (2DEG) en capes de grafit i l'efecte Hall quàntic en dispositius tipo MOSFET, tenen una topología euclidiana bidimensional. Els nanotubos de carbono, l'aram quàntic i el líquit Luttinger, en canvi, tenen topología unidimensionals. És provable que els sistemes en topología 1D i 2D es tornen més comunes, suponent que continuen els desenrolls en nanotecnología i ciència de materials.

Definició

La densitat d'estats és per definició la distribució que la seua integral entre dos energies dona el número existent d'estats.

$dN(E)=D(E)dE\Rightarrow N(E_2)-N(E_1)=\underset{E_1}{\overset{E_2}{\int }}D(E)dE$

sent D(I) la densitat d'estats i N(I) el número d'estats en energia menor o igual que E.

En general, la densitat d'estats relacionada en el volum V i, definint

$(\Delta k{)}^d={\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^d$,

considerant el canvi més chicotet permés de k per a una partícula en una caixa de dimensió $d\times L$ ($L⟶\mathrm{\infty }$), ve donada per:

$D(E)=\frac{1}{V}\sum _{i=1}^N\delta (E-E(k_i))⟶D(E)=\underset{R^d}{\int }\frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}\delta (E-E(k))$

sent d la dimension espacial del sistema considerat, $\delta (x)$ la distribució delta de Dirac, i k el vector d'ona (vector del espai recíproc). D'esta manera, s'obté, per a una, dos i tres dimensions respectivament:

$D_{1D}(E)=\frac{1}{\pi \hslash }{\left(\frac{m}{2E}\right)}^{1/2}$

$D_{2D}(E)=\frac{m}{\pi {\hslash }^2}$

$D_{3D}(E)=\frac{m}{{\pi }^2{\hslash }^3}(2mE{)}^{1/2}$

De manera equivalent, la densitat d'estats també pot entendre's com la derivada de la funció de partició microcanónica (és dir, el número total d'estats en energia menor que I) sobre l'energia:

$D(E)=\frac{1}{V}\frac{d{Z}_m(E)}{dE}$

El número d'estats en energia $E^{\text{'}}$ (grau de degeneració) ve dau per:

$g(E^{\prime })=\underset{\Delta E\to 0}{\lim }\underset{E^{\prime }}{\overset{E^{\prime }+\Delta E}{\int }}D(E)dE=\underset{\Delta E\to 0}{\lim }D(E^{\prime })\Delta E$

a on l'última igualtat solament s'aplica quan la teorema del valor mig per a integrals és vàlit.