Líquit de Luttinger

Un líquit de Tomonaga-Luttinger, més a sovint cridat simplement líquit de Luttinger, és un model teòric que descriu l'interacció d'electrons (o uns atres fermiones) en un conductor unidimensional (per eixemple fils quàntics com els nanotubos de carbono). Este model és necessari ya que el model de líquit de Fermi habitualment utilisat no funciona en una sola dimensió.

El líquit de Tomonaga-Luttinger va ser propost per primera volta per Tomonaga en 1950. El model va mostrar que baix certes condicions, les interaccions de segon orde entre electrons podrien ser modelades com a interaccions bosónicas. En 1963, Luttinger va reformular la teoria en terme de les ones de sò de Bloch i va mostrar que les condicions impostes per Tomonaga eren innecessàries per a tractar els destorbament de segon orde com bosones. No obstant, la seua solució del model era incorrecta, i el model correcte va ser donat per Mattis i Lieb en 1965.

Teoria

La teoria de líquit de Luttinger descriu excitació en un gas d'electrons unidimensional com bosones. Començant en el hamiltoniano de l'electró lliure:

$H=\sum _k{ϵ}_k{c}_k^{†}{c}_k$

està separat en electrons movent-se cap a esquerra i dreta, i en ell subyacer la linearización en l'aproximació ${ϵ}_k\approx \pm v_F(k-k_F)$ sobre el ranc $\Lambda$:

$H=\sum _{k=k_F-\Lambda }^{k_F+\Lambda }{v}_{F}k(c_k^{R†}{c}_k^R-c_k^{L†}{c}_k^L)$

Les expressions per a bosones en térmens de fermiones se solen usar per a representar el hamiltoniano com a producte de dos operadors de bosón en una transformació de Bogoliubov.

La bosonización completa pugues llavors utilisar-se per a predir la separació espin-càrrega. Es poden tractar les interacciones electró-electró per a calcular les funcions de correlació.

Característiques

Entre les característiques contrastantes d'un líquit de Luttinger es troben les següents:

• La resposta de la densitat de càrrega (o de partícules) a alguns destorbament externs són ones ("plasmones" o ones de densitat de càrrega) que es propaguen a una velocitat determinada per l'intensitat de l'interacció i la densitat mija. Per a un sistema no interaccionante, la velocitat d'esta ona és igual a la velocitat de Fermi, mentres que és més alta (o respectivament més baixa) per a interaccions repulsivas (atractives) entre els fermiones.
• De la mateixa forma, hi ha ones de densitat d'espin (la velocitat del qual, en primera aproximació, és igual a la velocitat de Fermi sense destorbament). Estes es propaguen independentment de les ones de densitat de càrrega. Este fet és conegut com separació espin-carrega.
• Les ones de càrrega i espin són les excitació elementals del líquit de Luttinger, a diferència de les cuasipartículas del líquit de Fermi (que porten tant espin com a càrrega). La descripció matemàtica es torna molt senzilla en térmens d'estes ones (resolent l'equació d'ona unidimensional), i la majoria del treball consistix en desfer la transformada per a obtindre les propietats de les pròpies partícules (o tractar impurees i atres situacions a on el backscattering és important).
• Inclús a temperatura nula, la funció de distribució del moment de les partícules no mostra un bot marcat, en contrast en el líquit de Fermi (en el que este bot indica la superfície de Fermi).
• No hi ha cap "pico de cuasipartícula" en la funció espectral dependent del moment (açò és, cap pico l'esgambi del qual es torna molt més chicoteta que l'energia d'excitació per damunt del nivell de Fermi, com en el cas del líquit de Fermi). En el seu lloc, hi ha una singularitat en el potencial, en un exponent "no universal" que depén de l'intensitat de l'interacció.
• Al voltant de les impurees hi ha les usuals oscilacions de Friedel en la densitat de càrrega, en un vector d'ona de $2k_{\text{F}}$. Aixina i tot, en contrast en el líquit de Fermi, la seua decaiguda en grans distàncies està governat per un atre exponent depenent de l'interacció més.

• A baixes temperatures, la dispersió d'estes oscilacions de Friedel es torna tan eficient que la força efectiva de l'impurea es renormaliza a infinit, "apretant" el fil quàntic. De forma més precisa, la conductància es torna zero quan la temperatura i el voltage de transport es van a zero (i aumenten com un potencial en voltage i temperatura, en un exponent depenent de l'interacció).
• De la mateixa forma, el ràtio d'efecte túnel en un líquit de Luttinger s'anula a baixos voltages i temperatures, com una llei potencial.

Es creu que el model de Luttinger descriu el comportament universal a baixa freqüència/llongitut d'ona gran en qualsevol sistema unidimensional de fermiones interaccionantes (que no ha caigut a una transició de fase a algun atre estat).