Llei potencial

Un eixemple gràfic de llei potencial, usat per a demostrar el rànquing de popularitat. A la dreta es troba la llarga coa (molts elements individualment poc populars), i a l'esquerra els pocs elements que són més populars.

Una llei potencial o llei de potències és un tipo especial de relació matemàtica entre 2 magnituts M i m del tipo:

A on C és un número real i p un atre número real denominat exponent.

Estes dos cantitats poden ser, o be dos variables diferents (per eixemple, el metabolisme basal d'una espècie i la seua massa corporal -d'acort a la cridada llei de Kleiber-, o el número de ciutats que produïx un determinat número de palesos), o be una variable i la seua pròpia freqüència. En estos últims casos, denominats lleis potencials de ranc-freqüència, les freqüències són proporcionals al valor de la variable elevat a un exponent constant; per eixemple, un terremot de doble intensitat és quatre voltes més improvable. Les lleis potencials es troben tant en la naturalea com en àmbits artificials, i són un camp d'estudi actiu per la comunitat científica. És una relació funcional entre dos cantitats, a on un canvi relatiu en una cantitat resulta en un canvi relatiu proporcional en l'atra cantitat, independentment del tamany inicial d'estes cantitats.

Definició

Una relació en forma de llei potencial entre dos escalares x i i és aquella que pot expressar-se com seguix:

a on a (la constant de proporcionalitat) i k (l'exponent de la potència) són constants.

La llei potencial pot interpretar-se com una llínea recta en un gràfic doble-logarítmic, ya que l'equació anterior es pot expressar de la forma:

que és l'equació d'una llínea recta:

a on s'han realisat els canvis de variable $w=\log (y),u=\log (x),c=\log (a)=cte.$

Propietats de lleis potencials

Invariancia d'escala

El principal interés de les lleis potencials radica en la seua invariancia d'escala. La funció $f(x)=a{x}^k$ (a on $a$ i $k$ són constants), satisfà la relació:

per a tota constant $c$. Açò és, en multiplicar l'argument $x$ per $c$, únicament estem multiplicant la llei potencial original per la constant $c^k$. En este sentit, es diu que la funció $f(x)$ és invariante d'escala. Esta propietat fa que una llei potencial quede determinada pel seu exponent, formant les funcions en el mateix exponent una classe d'equivalència. La invariancia d'escala de la llei de potències permet realisar estadístiques sobre les diferents escales d'observació, per a estimar l'exponent.

Carència de mija ben definida

Les lleis potencials solament tenen una mija ben definida per a exponents menors que -2. D'igual modo, solament tenen una varianza finita quan l'exponent és menor que -3. Açò fa que siga tècnicament incorrecte aplicar les estadístiques tradicionals basades en la varianza i desviació estàndar (com l'anàlisis de regressió), sent més adequades atres ferramentes com l'anàlisis cost-eficiència. Per eixemple, assumint que en una determinada regió l'emissió contaminant d'automòvils es distribuïx segons una llei potencial (molt pocs automòvils contribuïxen a la gran majoria de la contaminació), seria suficient eliminar una chicoteta proporció d'automòvils (els més contaminants) per a reduir substancialment la contaminació total.

Referències

• ^{[enllaç trencat]}
• Critical Phenomena in Natural Sciences (Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools), Didier Sornette & Francisco Suelves (2006) 2nd ed., 2nd print (Edicions UPC).
• Prieto, F., & Sarabia, J. M. (2017). A generalization of the power law distribution with nonlinear exponent. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 42, 215-228.