Desigualtat llineal

En matemàtiques una desigualtat llineal és una desigualtat que involucra a una funció llineal. Una desigualtat llineal conté un dels símbols de la desigualtat.

• < és menor que
• > és major que
• ≤ és menor o igual a
• ≥ és major o igual a
• ≠ no és igual a

Una desigualtat llineal s'assembla exactament a una equació llineal, en el signe de desigualtat reemplaçant al signe d'igualtat.

Desigualtats llineals d'número real

Desigualtats llineals bidimensionales

Archiu:Linearineq1.svg

Representació gràfica d'una desigualtat llineal:
x + 3i < 9

Les desigualtats llineals bidimensionales són expressions en dos variables de la forma:

$ax+by<c\text{ o }ax+by\ge c,$

a on les desigualtats poden ser estrictes o no. El conjunt de solucions de tal desigualtat es pot representar gràficament en un semiplano (tots els punts d'un "costat" d'una llínea fixa) en el pla euclidiano. La llínea que determina els semiplanos (ax + by = c) no s'inclou en el conjunt de solucions quan la desigualtat és estricta. Un procediment senzill per a determinar qué semiplano està en la solució ajustada és calcular el valor ax + by en un punt (x₀, i₀) que no està en la llínea i observar si es complix o no la desigualtat.

Per eixemple, per a representar el conjunt de solucions de x + 3i < 9, primer es dibuixa la llínea en l'equació x + 3i = 9 com una llínea de punts, per a indicar que la llínea no està inclosa en el conjunt de solucions ya que la desigualtat és estricta. Després, s'elegix un punt convenient que no estiga en la llínea, com (0,0). ya que 0 + 3 (0) = 0 < 9, este punt es troba en el conjunt de solucions, per lo que el semiplano que conté este punt (el semiplano per "davall" de la llínea) és el conjunt de solucions d'esta desigualtat llineal.

Desigualtats llineals en dimensions generals

En Rⁿ les desigualtats llineals són les expressions que es poden escriure en la forma

$f(\overline{x})<b$ o $f(\overline{x})\le b,$

a on f és una forma llineal, $\overline{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ i b un número real constant.

Més concretament, açò pot expressar-se com:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n<b$

o

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n\le b.$

A on $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ són les incògnites i $a_1,a_2,\mathrm{...},a_n$ són els coeficients.

Alternativament, també poden expressar-se com:

$g(x)<0$ o $g(x)\le 0,$

a on g és una funció afí.

Açò és

$a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n<0$

o

$a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n\le 0.$

Note's que qualsevol desigualtat que continga un signe "major que" o "major o igual que" pot expressar-se també en un signe "menor que" o "menor o igual que", per lo que no és necessari definir desigualtats llineals utilisant eixos signes.

Sistema de desigualtats llineals

Un sistema de desigualtats llineals és un conjunt de desigualtats llineals en les mateixes variables:

$\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & \le & & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & \le & & & b_2\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & \le & & & b_m\\ \end{array}$

A on $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ són les incògnites, $a_{11},a_{12},\mathrm{...},a_{mn}$ els coeficients del sistema i $b_1,b_2,\mathrm{...},b_m$ els térmens constants.

Açò pot expressar-se com una desigualtat en forma de matriu:

$Ax\le b,$

a on A és una matriu m&claves;n, x és un vector columna de n&claves;1 variables, i b és un vector columna de m&claves;1 constants.

En els sistemes anteriors poden utilisar-se tant desigualtats estrictes com no estrictes.

No tots els sistemes de desigualtats llineals tenen solucions.

Aplicacions

Poliedres

El conjunt de solucions d'una desigualtat llineal real constituïx un semiespacio de l'espai real 'n'-dimensional, un dels dos definits per la corresponent equació llineal.

El conjunt de solucions d'un sistema de desigualtats llineals correspon a l'intersecció dels semiespacios definits per les desigualtats individuals. És un conjunt convexo, ya que els semiespacios són conjunts convexos, i l'intersecció d'un conjunt de conjunts convexos també és convexa. En els casos no degenerados, este conjunt convexo és un poliedre convexo (possiblement sense llímits, per eixemple, un semiespacio, una porció entre dos semiespacios paralels o un con polièdric). També pot estar buit o ser un poliedre convexo de dimensió inferior confinat a un subespacio afí de l'espai 'n'-dimensional Rⁿ.

Programació llineal

Artícul principal → Programació llineal.

Un problema de programació llineal busca optimisar (trobar un valor màxim o mínim) d'una funció (cridada funció objectiva) subjecta a una série de restriccions sobre les variables que, en general, són desigualtats llineals. La llista de restriccions és un sistema de desigualtats llineals.

Generalisació

La definició anterior requerix operacions ben definides de suma, multiplicació i comparació; per lo tant, la noció de desigualtat llineal pot estendre's als anells ordenats, i en particular als cossos ordenats. Les generalisacions d'este tipo són solament d'interés teòric fins que es fa evident una aplicació per a elles.

Bibliografia

• (1989).«A Survey of Mathematics with Applications».Addison-Wesley.
• (1986).«Mathematical Idees».Scott, Foresman.