Dimensió de Assouad

Dimensió de Assouad d'un triàngul de Sierpinski. Per a R=2 i r=1 $N_r(B_R(x)\cap E)=3={\left(\frac{2}{1}\right)}^{\alpha }$, llavors la dimensió pot ser $\frac{\log (3)}{\log (2)}$ com la dimensió de Hausdorff-Besicovitch

En matemàtiques — específicament, en fractalés — la dimensió de Assouad és una definició de dimensió fractal per a subconjunts d'un espai mètric. Va ser introduïda per Patrice Assouad en el seu tesis doctoral de 1977 i posteriorment publicat en 1979, encara que ya havia segut definida anteriorment per Georges Bouligand en 1928. Ademés d'utilisar-se per a estudiar fractales, també s'ha utilisat per a estudiar aplicacions cuasiconformales i problemes d'encaix.

Definició

La dimensió de Assouad de $X,d_A(X)$, és el mínim de tots els $s$, de modo que $(X,\varsigma )$ és $(M,s)$-homogéneu per a alguns $M\ge 1$.

Siga $(X,d)$ un espai mètric i $E$ un subconjunt no buit de $X$. Per a $r>0$, siga $N_r(E)$ el menor número de boles mètriques de ràdio menor o igual a r en les que és possible recobrir el conjunt $E$. La dimensió de Assouad de $E$ es definix com el $\alpha \ge 0$ ínfim para el que existixen constants positives $C$ i $\rho$ de modo que, sempre que

$0<r<R\le \rho ,$

es manté el següent llímit:

$\underset{x\in E}{\sup }{N}_r(B_R(x)\cap E)\le C{\left(\frac{R}{r}\right)}^{\alpha }.$

L'intuïció subjacent a esta definició és que, per a un conjunt I en dimensió sancera n "ordinària", el número de boles chicotetes de ràdio r necessàries per a cobrir l'intersecció d'una bola més gran de ràdio R en I s'escalarà com (Plantilla:Sfrac)ⁿ.

Llectures relacionades

• Plantilla:MathSciNet
• Bouligand, M.G. (1928). "Ensembles impropres et nombredimensionnel", Bulletin dones Sciences Mathématiques 52 , pp.320–344.