Distribució de Breit-Wigner relativista

Archiu:Breit-Wigner2.svg

Gràfica d'una secció eficaç que seguix la distribució de Breit-Wigner relativista.

La distribució relativista de Breit-Wigner és una distribució de provabilitat contínua usual en la física de partícules. Va ser usada per primera volta en 1936 per Gregory Breit i Eugene Wigner per a descriure una resonància. La funció de densitat de provabilitat és

$f(E)=\frac{k}{{(E^2-M^2)}^2+M^2{\Gamma }^2},$

a on k és una constant de proporcionalitat igual a

$k=\frac{2\sqrt{2}M\Gamma \gamma }{\pi \sqrt{M^2+\gamma }}$   en   $\gamma =\sqrt{M^2(M^2+{\Gamma }^2)}.$

(Estes equacions ampren unitats naturals en les que ħ = c = 1). La versió no relativista de la distribució de Breit-Wigner és la distribució de Cauchy.

Significat físic

El principal us de la distribució de Breit-Wigner és modelar resonàncies (partícules inestables) en física d'altes energies. En este cas, I és l'energia en el sistema de referència del centre de masses que produïx la resonància, M és la massa de la resonància, i Γ és l'esgambi de la resonància (o esgambi de desintegració), relacionada en la seua vida mija segons τ = 1/Γ. La provabilitat de produir una resonància a una energia I és proporcional a f (I), de modo que un gràfic de la taxa de producció de la partícula inestable com a funció de l'energia descriu una distribució de Breit-Wigner relativista. Per a valors de I que disten del màxim en M de modo que |I²−M²| = MΓ, (i per tant |I−M| = Γ/2 per a M≫Γ), la distribució f s'atenua fins a la mitat del seu valor màxim, per lo que Γ és l'esgambi a mija altura.

En el llímit d'esgambi nul Γ→0, la partícula es torna estable i la distribució f tendix a 2M δ(I²−M²).

En general, Γ pot ser també una funció de I; esta dependència normalment solament és important si Γ no és chicoteta en comparació a M i la dependència en l'espai de fases de l'esgambi deu ser considerada (per eixemple, en la desintegració d'un posada rho en un parell de pionés). El factor M ² que multiplica a Γ² es deu substituir per I ² (o I ⁴/M², etc.) quan la resonància és ampla.

La forma de la distribució de Breit-Wigner relativista prové del propagador d'una partícula inestable, que té en el denominador la forma p² − M² + iMΓ. (a on p² és el quadrat del cuadrimomento que du la partícula en el diagrama de Feynman de nivell arbre corresponent). El propagador en el sistema de referència en repòs és proporcional a l'amplitut de provabilitat per a la desintegració utilisada per a reconstruir la resonància,

$\frac{\sqrt{k}}{(E^2-M^2)+iM\Gamma }.$

La distribució de provabilitat resultant és proporcional al valor absolut al quadrat de l'amplitut, i per lo tant resulta en la distribució de Breit-Wigner relativista.

La forma de la distribució és similar a la solució de l'equació de moviment clàssica per al moviment d'un oscilador harmònic forçat. Té la forma d'una curva de resonància o de distribució de Cauchy, pero inclou la variable de Mandelstam relativista $s=p^2$, ací $s=E^2$.

La distribució és la solució a una equació diferencial anàloga a la de la potència mija d'un oscilador clàssic forçat,

$\left\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(\text{E})({({\text{E}}^2-M^2)}^2+{\Gamma }^2{M}^2)-4\text{E}f(\text{E})(M-\text{E})(\text{E}+M)=0\\ f(M)=\frac{k}{{\Gamma }^2{M}^2}\end{array}\right\}$.