Dodecágono

Archiu:Dodecagon.svg

Dodecágono

Un dodecágono, en la geometria, és un polígon de 12 costats i 12 vèrtiços. Si en prolongar un costat, tota la figura queda exactament en un dels semiplanos determinats pel costat i les seues prolongacions, el polígon és convexo. En el cas de que existixca un costat en les seues prolongacions tal que la figura se situe en els dos semiplanos definits per tal costat i les seues prolongacions, el polígon és cóncau.

La suma de les seues ànguls interiors és de 1800°.

Propietats

Un dodecágono té 54 diagonalés, resultat que es pot obtindre aplicant l'equació general per a determinar el número de diagonals d'un polígon, $D=n(n-3)/2$; sent el número de costats $n=12$, es té que:

$D=\frac{12(12-3)}{2}=54$

La suma de tots els ànguls interns de qualsevol dodecágono és 1800 graus o $10\pi$ radianes.
L'àngul central d'un dodecágono regular és de 30°.

El número de punts en que es intersecan les diagonals d'un dodecágono regular és 495.

Dodecágono regular

Archiu:Regular polygon 12 annotated.svg

Un dodecágono regular i els seus ànguls principals

Un dodecágono regular és un dodecágono en igual llongitut en tots els seus costats i que els seus ànguls interns tenen tots la mateixa mida: 150° o $5\pi /6$ rad. Cada àngul extern del dodecágono regular medix 30° o $\pi /6$ rad.

Un dodecágono regular té símbol de Schläfli {12} i pot ser construït com un hexàgon truncat, t{6}, o un triàngul doblement truncat, tt{3}.

Perímetro

El perímetro d'un dodecágono regular de costat $t$ és

$P=12\cdot t$

O be, en térmens del circunradio $r$ és

$\begin{array}{cc}P& =24r\tan \left(\frac{\pi }{12}\right)=12r\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ & \simeq 6.21165708246r\end{array}$

Àrea

l'àrea d'un dodecágono regular de costat $t$ és

$A=\frac{3\cdot t^2}{\tan (\frac{\pi }{12})}=t^2\cdot (6+3\sqrt{3})\simeq 11,1962t^2$

a on $\pi$ és la constant pi i $\tan$ és la funció tangente calculada en radianes.

O be, en funció de l'apotema $a$ i del costat $t$ del dodecágono,

$A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{12\cdot t\cdot a}{2}=6\cdot t\cdot a$

També, en funció d'únicament la apotema $a$,

$A=a^2\cdot (24-12\sqrt{3})$

I, finalment, en funció del radi $r$ del circumferència circumscrita al dodecágono,

$A=3r^2$

La seua àrea representa els $\frac{2}{\sqrt{3}}$ de l'àrea de l'hexàgon regular inscrit en la mateixa circumferència.