Elasticitat plana

La elasticitat plana es referix a l'estudi de solucions particulars del problema elàstic general i a l'estudi del conjunt d'aplicacions tècniques en que apareixen dits estats elàstics de tensió-deformació reducibles a problemes "plans" o bidimensionales.

Els estats d'elasticitat plana només són possibles en cossos que geomètricament són prismes mecànics. Esta condició necessària no és suficient per a assegurar que el cos està somés a un estat d'elasticitat plana. Les condicions suficients depenen del tipo de forces o solicitaciones als que estiga somés dit prisma. En les aplicacions pràctiques es diferencia entre dos tipos d'estats d'elasticitat plana:

• Els estats de deformació plana.
• Els estats de tensió plana.

Per a abdós tipos d'estats existix una gama àmplia de tècniques de resolució del problema elàstic pla, que inclouen tant la funció de Airy com les tècniques de variable complexa o el anàlisis harmònic.

Donat un prisma mecànic $P=S\times E\subset {ℝ}^2\times ℝ$, en els problemes d'elasticitat plana s'usen sistemes de coordenades ortogonals, com les cartesianes o les cilíndriques, en que la secció travessera del cos perpendicular a l'eix Z, és un regió plana d'idèntica forma a $S\subset {ℝ}^2$.

Estats de deformació plana

Intuitivamente un cos en un estat de deformació plana és aquell que es pot analisar descomponent el cos en rebanadas idèntiques i estudiar sobre cada rebanada la distribució de deformacions com a problema bidimensional usant dos coordenades per a la posició de cada punt sobre cada una de les rebanadas. Considerant un sistema de coordenades cartesianes en el pla $XY$ coincididente en una de les rebanadas idèntiques, el camp de desplaçaments per efecte de les forces resulten ser:

Caracterisació matemàtica d'un estat de deformació plana

Donat un sòlit elàstic de forma prismàtica una condició necessària per a que el seu estat elàstic siga de deformació plana és que el determinant del tensor deformació siga idénticamente nul en tots els punts:

Eixa condició necessària no és suficient. Podem formular una condició una miqueta més restrictiva que l'anterior, i que per tant implica a l'anterior, de tal manera que siga condició necessària i suficient per a garantisar l'existència d'un estat de deformació plana. Donat un prisma mecànic elàstic la seua estat tensió-deformació és de deformació plana si existix un camp vectorial constant ${𝐯}_0$ i no nul, que en cada punt del cos siga direcció principal, satisfent-se ademés que:

Tensor deformació en forma canònica

Per a un estat de deformació plana pot demostrar-se que existix un sistema de coordenades cartesianes XYZ, en l'eix OZ coincidint en el eix baricéntrico del prisma elàstic, en el que el tensor deformació del cos té la forma:

Usant les mateixes coordenades el tensor tensió prendrà la forma:

Problema elàstic pla

El plantejament del problema elàstic per a un estat d'elasticitat plana en absència de forces de volum conduïx a unes equacions alguna cosa més senzilles de lo habitual per a que la que pot aplicar-se tant el método de la funció de tensions de Airy com els métodos de variable complexa, per a trobar una solució. En primer lloc les equacions d'equilibri es reduïxen a sol dos equacions independents:

Mentres que les equacions de compatibilitat es reduïxen a una única equació independent:

De fet, en les mateixes condicions anteriors i per a un sòlit elàstic llineal, pot demostrar-se que el sistema format per (1) i (2a) resulta equivalent al sistema format per (1) i (2b):

Funció de tensions de Airy

En les condicions anteriors pot provar-se que la solució del sistema format per (1) i (2b) sobre un cert domini pla, simplement conexo, pot expressar-se en funció d'una funció biarmónica sobre dit domine, sent les tensions expressables en funció d'esta única funció biarmónica:

Ademés es complix que:

Es pot provar que tota funció real que satisfà les equacions anteriors es pot expressar en térmens de dos funcions harmòniques holomorfas:

Estats de tensió plana

L'estat tensional sobre un cos elàstic és de tensió plana quan el cos té forma de prisma recte i les forces existents són tals que les forces sobre cada pla perpendicular al eix baricéntrico del prisma recte són paraleles a dit pla i idèntiques sobre tots els plans perpendiculars. Si es considera un sistema de coordenades cartesianes que l'eix Z, siga paralel a l'eix baricéntrico les forces per unitat de superfície vénen donades per:

Caracterisació matemàtica d'un estat de tensió plana

Donat un sòlit elàstic de forma prismàtica una condició necessària per a que el seu estat elàstic siga de tensió plana és que el determinant del tensor tensió siga idénticamente nul en tots els punts:

Eixa condició necessària no és suficient. Esta condició pot formular-se de manera una miqueta més restrictiva, de tal manera que siga condició necessària i suficient per a garantisar l'existència d'un estat de deformació plana. Donat un prisma mecànic elàstic la seua estat tensió-deformació és de tensió plana si existix un camp vectorial constant ${𝐯}_0$ i no nul, que en cada punt del cos siga direcció principal, satisfent-se ademés que: