Equació de Grad-Shafranov

En magnetohidrodinámica, l'equació de Grad-Shafranov ( H. Grad i H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) és l'equació d'equilibri ideal per a un plasma bidimensional, per eixemple el plasma toroidal simètric en l'eix en un tokamak. Esta mateixa equació adopta una forma igual que l'equació de Hicks des de la dinàmica de decorreguts. Esta equació es tracta d'una equació elíptica en derivades parcials bidimensional i no llineal que s'obté de la reducció de les equacions ideals de la magnetohidrodinámica a dos dimensions, a sovint per al cas de toroideos simètrics en l'eix (com per eixemple, en un tokamak).

Llavors, si prenem $(r,\theta ,z)$, estes com coordenades cilíndriques, la funció de fluix $\psi$ es rig per la següent equació:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=-{\mu }_0{r}^2\frac{dp}{d\psi }-\frac{1}{2}\frac{d{F}^2}{d\psi },$

a on ${\mu }_0$ es tracta de la permeabilidad magnètica, $p(\psi )$ és la pressió, $F(\psi )=r{B}_{\varphi }$, i el camp magnètic i la corrent són, respectivament, obtinguts per

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{B}& =\frac{1}{r}\mathrm{\nabla }\psi \times {\hat{e}}_{\theta }+\frac{F}{r}{\hat{e}}_{\theta },\\ {\mu }_0\overrightarrow{J}& =\frac{1}{r}\frac{dF}{d\psi }\mathrm{\nabla }\psi \times {\hat{e}}_{\theta }-[\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}]{\hat{e}}_{\theta }.\end{array}$

La naturalea de l'equilibri, ya siga un tokamak, un péntol de camp invertit, etc. està determinada en gran mida per les eleccions d'abdós funcions $F(\psi )$ i $p(\psi )$, aixina com de les condiciones llímit.

Derivació (en coordenades de lloses)

A continuació, se supon que el sistema és bidimensional en $z$ com a eix invariante, és dir, $\frac{\partial }{\partial z}=0$ per a cada una de totes les cantitats. Aixina que, el camp magnètic es pot escriure en coordenades cartesianas com lo següent:

$𝐁=(\frac{\partial A}{\partial y},-\frac{\partial A}{\partial x},B_z(x,y)),$

o d'una forma encara més compacta,

$𝐁=\mathrm{\nabla }A\times \widehat{𝐳}+B_z\widehat{𝐳},$

a on $A(x,y)\widehat{𝐳}$ és el potencial vectorial del camp magnètic en el pla (components x i i ). Tinga en conte que, basant-nos en esta forma de B es pot vore que A és constant a lo llarc de qualsevol llínea de camp magnètic dau, ya que $\mathrm{\nabla }A$ és perpendicular a B en tots els llocs (tinga en conte també que -A és la funció de fluix $\psi$ citat anteriorment).

Cal tindre en conte que les estructures magnètiques estacionarias i bidimensionales es descriuen pel balanç de forces de pressió i forces magnètiques, és dir:

$\mathrm{\nabla }p=𝐣\times 𝐁,$

a on p és la pressió del plasma i j és la corrent elèctrica. Se sap que p és una constant a lo llarc de qualsevol llínea de camp (de nou, des de $\mathrm{\nabla }p$ és perpendicular a B). Ademés, el supòsit bidimensional ($\frac{\partial }{\partial z}=0$) significa que el component z del costat esquerre deu ser zero, per lo que el component z de la força magnètica del costat dret també deu ser zero. Açò significa que ${𝐣}_{\perp }\times {𝐁}_{\perp }=0$, és dir, ${𝐣}_{\perp }$ és paralel a ${𝐁}_{\perp }$ .

El costat dret de l'equació anterior pot considerar-se en dos parts:

$𝐣\times 𝐁=j_z(\widehat{𝐳}\times {𝐁}_{\mathbf{\perp }})+{𝐣}_{\mathbf{\perp }}\times \widehat{𝐳}{B}_z,$

a on l'índex $\perp$ indica el component en el pla perpendicular a l'eix $z$. El component $z$ de la corrent de l'equació anterior es pot escriure en térmens del potencial vectorial unidimensional com

$j_z=-\frac{1}{{\mu }_0}{\mathrm{\nabla }}^{2}A.$ .

El camp en el pla és

${𝐁}_{\perp }=\mathrm{\nabla }A\times \widehat{𝐳}$ ,

i fent us de l'equació de Maxwell-Ampère, la corrent en el pla nos ve donada per

${𝐣}_{\perp }=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }{B}_z\times \widehat{𝐳}$ .

Per a que este vector puga ser paralel a ${𝐁}_{\perp }$ segons siga necessari, el vector $\mathrm{\nabla }{B}_z$ deu ser perpendicular a ${𝐁}_{\perp }$, i $B_z$ té que ser, com $p$, un invariante de llínea de camp .

Reorganisant els productes creuats anteriors conduïx a

$\widehat{𝐳}\times {𝐁}_{\perp }=\mathrm{\nabla }A-(\widehat{𝐳}\cdot \mathrm{\nabla }A)\widehat{𝐳}=\mathrm{\nabla }A$ ,

i

${𝐣}_{\perp }\times B_z\widehat{𝐳}=\frac{B_z}{{\mu }_0}(\widehat{𝐳}\cdot \mathrm{\nabla }{B}_z)\widehat{𝐳}-\frac{1}{{\mu }_0}{B}_z\mathrm{\nabla }{B}_z=-\frac{1}{{\mu }_0}{B}_z\mathrm{\nabla }{B}_z.$

Estos resultats es poden substituir per l'expressió de $\mathrm{\nabla }p$ per a donar aixina en:

$\mathrm{\nabla }p=-\left[\frac{1}{{\mu }_0}{\mathrm{\nabla }}^{2}A\right]\mathrm{\nabla }A-\frac{1}{{\mu }_0}{B}_z\mathrm{\nabla }{B}_z.$

A partir de que $p$ i $B_z$ són constants a lo llarc d'una llínea de camp i solament tenen funcions de $A$, llavors $\mathrm{\nabla }p=\frac{dp}{dA}\mathrm{\nabla }A$ i $\mathrm{\nabla }{B}_z=\frac{d{B}_z}{dA}\mathrm{\nabla }A$. D'esta manera, es factoriza $\mathrm{\nabla }A$ i la reordenació dels térmens finalment produïx l'equació de Grad-Shafranov:

${\mathrm{\nabla }}^{2}A=-{\mu }_0\frac{d}{dA}(p+\frac{B_z^2}{2{\mu }_0}).$

Bibliografia

• Grad, H., i Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields
• Archivat el 21 de juny de 2023 archivat en Wayback Machine. . Proceedings of the 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Vol. 31, Geneva: IAEA p. 190.
• Shafranov, VD (1966) Plasma equilibrium en magnètic field, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, New York: Consultants Bureau, p. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmes, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, chapter 2.5.4
• Haverkort, JW (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria
• Archivat el 26 de octubre de 2014 archivat en Wayback Machine. Arxivat </link> . Notes sobre la Grad-Shafranov equació, seleccionar aspectes de l'equació i les seues analytical solucions.
• Haverkort, JW (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibri with Toroidal Flow
• Archivat el 26 de octubre de 2014 archivat en Wayback Machine. Arxivat </link> . Incorporació de toroidal flow, relació en kinetic i 2-decorreguts models, i discussió de specificas analytical solucions.