Equació de sine-Gordon

La equació de sine-Gordon és una equació en derivades parcials hiperbòlica no llineal per a una funció $\phi$ dependent de dos variables, típicament denotades $x$ i $t$, incloent l'operador d'ona i el sen de $\phi$.

Va ser introduïda originalment per Edmond Bour en 1862 en el context de l'estudi de superfícies de curvatura negativa constant com l'equació de Gauss-Codazzi per a superfícies de curvatura gaussiana constant -1 en l'espai tridimensional. Va ser redescubierta per Frenkel i Kontorova en 1939 en el seu estudi de recalcada en cristals conegut com model de Frenkel-Kontorova.

Va atraure gran atenció en la década de 1970 per la presència de solitones, i és un conegut eixemple de sistema integrable. Entre les equacions integrables més conegudes, l'equació de sine-Gordon és l'únic sistema relativiste pel seu invariancia de Lorentz.

Orige de l'equació en geometria diferencial

Existixen dos formes equivalents de l'equació de sine-Gordon. En les anomenades coordenades espai-temps, denotades $(x,t)$, l'equació té la forma:

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\sin \phi =0,$

a on els subíndexs denoten derivades parcials. Passant a les coordenades de con de llum (o, v), similars a les coordenades asintòtiques a on

$u=\frac{x+t}{2},v=\frac{x-t}{2},$

pren la forma

${\phi }_{uv}=\sin \phi .$

Esta és la forma original de l'equació de sine-Gordon, tal com va ser considerada en el XIX en l'estudi de superfícies en curvatura gaussiana constant K = −1, també cridades superfícies pseudoesféricas. Existix un sistema de coordenades per al que les llínees definides per o = constant, v = constant ve donada per les curves asintòtiques parametrizadas sobre la llongitut d'arc. La primera forma fonamental de la superfície en estes coordenades té la forma especial

$d{s}^2=d{u}^2+2\cos \phi dudv+d{v}^2,$

a on $\phi$ representa l'àngul entre les rectes asintòtiques, per a la segona forma fonamental $L=N=0,M=\sin \phi$. En estes condicions, l'equació de Gauss-Codazzi que expressa la condició de compatibilitat entre la primera i la segona forma fonamental resulta en l'equació de sine-Gordon.

Este anàlisis mostra que qualsevol superfície pseudoesférica dona orige a una solució de l'equació de sine-Gordon, encara que en algunes consideracions. Si la superfície és completa, la solució és necessàriament singular pel teorema d'encaix de Hilbert. El cas més simple, la pseudoesfera, correspon a un solitón estàtic, encara que la pseudoesfera té una cim en l'equador.

A l'inversa, es pot partir d'una solució de l'equació de sine-Gordon per a obtindre una pseudoesfera única llevat transformacions rígides. Existix una teorema, a voltes cridat teorema fonamental de les superfícies, que afirma que si dos formes bilineales en valors matriciales satisfan les equacions de Gauss-Codazzi, llavors són la primera i segona forma fonamental d'una superfície immersa en l'espai tridimensional. Les solucions de l'equació de sine-Gordon poden usar-se per a construir estes matrius usant les formes introduïdes més dalt.

A pseudosphere is deformed to a Dini surface through the Lie transform

Transformada de Lie aplicada a una pseudoesfera per a obtindre una superfície de Dini.

Generació de noves solucions

L'estudi d'esta equació i de les transformacions associades de superfícies pseudoesféricas en el XIX per Luigi Bianchi i Albert Victor Bäcklund va dur al descobriment de les transformacions de Bäcklund. Una atra transformació de superfícies pseudoesféricas és la transformada de Lie, introduïda per Sophus Lie en 1879, que correspon a una transformació de Lorentz de les solucions de l'equació de sine-Gordon.

Existixen formes més directes de per a construir noves solucions, pero no donen lloc a noves superfícies. Ya que l'equació de sine-Gordon és impar, el negatiu de qualsevol solució és una nova solució. No obstant, açò no genera una nova superfície, ya que el canvi de signe està associat a l'elecció de la direcció de la normal a la superfície. Es poden trobar noves solucions traslladant la solució: si $\phi$ és una solució, llavors també ho és $\phi +2n\pi$ per a $n$ sancer.

Nom

El nom de l'equació de sine-Gordon és un joc de paraules entre sine (sen en anglés) i la coneguda equació de Klein-Gordon en física:

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\phi =0.$

L'equació de sine-Gordon és l'equació de Euler-Lagrange del camp que la seua densitat lagrangiana ve donada per

${ℒ}_{\text{SG}}(\phi )=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-1+\cos \phi .$

Usant l'expansió en série de Taylor del coseno en el lagrangiano,

$\cos (\phi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!},$

pot reescriure's com el lagrangiano de Klein-Gordon més térmens d'orde més alt:

$\begin{array}{cc}{ℒ}_{\text{SG}}(\phi )& =\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)-\frac{{\phi }^2}{2}+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}\\ & ={ℒ}_{\text{KG}}(\phi )+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\phi }^2{)}^n}{(2n)!}.\end{array}$

Vore també

• Efecte Josephson
• Fluxón