Equació exponencial

Una equació exponencial és aquella en la que l'incògnita apareix, únicament, en els exponents de potències de bases constants. L'incògnita pot aparéixer en l'exponent d'un o més térmens, en qualsevol membre de l'equació. És dir, una constant està elevada a una funció de l'incògnita a rebujar, usualment representada per "X". Para resoldre dites equacions es recorren a les propietats de la potenciació, la radicació dels logaritmos i canvi de l'incògnita per una atra cosa.

Definició

Siga a un número real fix, positiu i diferent d'1, llavors l'equació:

$a^x=b$

es denomina equació exponencial elemental.

Formes de resolució

Depén del tipo d'equació exponencial del que es tracte, hi ha diverses formes de resoldre-la, pel seu nivell de dificultat. Les més fàcils són per simple inspecció, és dir, es descompon la part numèrica en els seus factors primers i aplicant logaritmos a abdós costats de l'igualtat. A continuació es brinden alguns eixemples.

Igualació de bases

Siga l'equació del següent eixemple:

Si el primer membre té només un terme i el terme del segon membre és potència de la base del terme del primer membre, llavors el segon membre, s'expressa com a potència de la base de l'expressió que conté l'incògnita. En l'eixemple 16 és potència de la base dos de $2^{x+1}$.

$2^{x+1}=2^4$

Després, per la següent propietat: $a^x=a^y\Rightarrow x=y$, tenim: $x+1=4$

$x=4-1$

$x=3$

Canvi de variables

Artícul principal → Canvi de variable.

Siga l'equació exponencial de l'eixemple:

$2\cdot 7^{x+2}+7^x=33957$

Anem a escriure-la aixina:

$2\cdot (7^x)\cdot 7^2+(7^x)=33957$

Apliquem el canvi de variable, i escrivim:

$7^x=a$

Ara, en reemplaçar, es té:

$2a\cdot 49+a=33957$

Rebugem $a$:

$99a=33957$

$a=\frac{33957}{99}$

$a=343$

Ara, recordem que $a=7^x$, després:

$343=7^x$

$7^3=7^x$

$3=x$

Convertint a una algebraica

Resoldre l'equació

2·9^x - 3^x+1 -2 = 0

ya que l'equació proposta pot ser escrita en la forma

2·(3^x)² - 3·3^x - 2 = 0

Després en la substitució i = 3^x, es té respecte a i l'equació algebraica de segon grau

2i² - 3i -2 = 0.

Resolent resulta i = 2; i = -1/2. L'última solució és impossible, puix 3^x > 0. En tal cas 3^x = 2;

x = log₃2 = ln2  : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturals);

Usant logaritmos

Artícul principal → logaritmo binario.

Siga l'equació:

$4^{x+1}\cdot 8^x=4096$

Usem logaritmo a abdós costats de l'equació:

${\log }_2(4^{x+1}\cdot 8^x)={\log }_{2}4096$

Per propietats dels logaritmos, tenim:

${\log }_2(4^{x+1})+{\log }_2(8^x)={\log }_{2}4096$

$(x+1)\cdot {\log }_{2}4+x\cdot {\log }_{2}8={\log }_{2}4096$

Operant:

$(x+1)\cdot 2+x\cdot 3=12$

$2x+2+3x=12$

$5x=10$

D'a on ix:

$x=2$

Una atra manera de resoldre

Siga l'equació 4^x+1·8^x = 4096, passant les bases de potència: 4 i 8 a potències de 2, com també 4096 = 2¹², es té

2^2x+2·2^3x = 2¹², igualant els exponents resulta

(2x +2) + 3x = 12, finalment

5x = 10; per tant x = 2.

Equacions exponencials més complexes

Quan l'incògnita es troba en l'índex d'una raïl, també li la considera exponencial, ya que només basta escriure-la com a exponent fraccionario. Siga l'equació:

$\sqrt[3x+1]{2^{x+2}}=8$

Veem que la variable es troba també en l'exponent d'una raïl. Per les propietats de la radicació, anem a escriure-la aixina:

$2^{\frac{x+2}{3x+1}}=8$

Apliquem el método d'igualació de bases:

$2^{\frac{x+2}{3x+1}}=2^3$

O siga:

$\frac{x+2}{3x+1}=3$

Operant, obtenim:

$x=-\frac{1}{8}$

Vore també

• Funció exponencial
• Canvi de variable
• Logaritmación
• Logaritmos
• Potenciació
• Propietats de la radicació
• Equacions
• Progressió geomètrica