Espai topològic puntado

En matemàtiques, un espai puntado o espai basat és un espai topològic en un punt "distinguit", conegut com a punt base. El punt distinguit és simplement un punt en particular, seleccionat de l'espai i al que se li dona un nom, com $x_0,$ el qual permaneix sense canvis durant la discussió posterior, i es realisa un seguiment durant totes les operacions.

Les funcions en els espais puntados ( mapes basats ) són funcions continus que conserven dit punts base, és dir, un mapa $f$ entre un espai puntado $X$ en punt base $x_0$ i un espai puntado $Y$ en punt base $y_0$ és un mapa basat si és continu sobre les topología de $X$ i $Y$ i si $f\left(x_0\right)=y_0.$ Açò generalment es denota

$f:(X,x_0)\to (Y,y_0).$

Els espais puntados són importants en la topología algebraica, particularment en la teoria de homotopía, a on moltes construccions, com el grup fonamental, depenen de l'elecció del punt base.

Els espais puntados a sovint es prenen com un cas especial de la topología relativa, a on el subconjunt és un sol punt. Per lo tant, gran part de la teoria de la homotopía generalment es desenrolla en espais puntados i després es trasllada a topología relatives en topología algebraica .

Categoria d'espais puntados

La classe de tots els espais puntados forma una categoria Top

_{$\{\bullet \}$}

en punt base preservant mapes continus com morfismos . Una atra forma de pensar en esta categoria és com la categoria de menge, (

$\{\bullet \}\downarrow$

dalt ) a on

$\{\bullet \}$

és qualsevol espai d'un punt i Top és la categoria d'espais topològics . (Açò també es diu una sobrecategoría denotada

$\{\bullet \}/$

dalt ) Els objectes en esta categoria són mapes continus

$\{\bullet \}\to X.$

Es pot pensar que tals mapes seleccionen un punt base en

$X.$

Els morfismos en (

$\{\bullet \}\downarrow$

Top ) són morfismos en Top per als que commuta el següent diagrama:

Erro al crear miniatura:

Com a espai puntado,

$\{\bullet \}$

és un objecte zero en Top

_{$\{\bullet \}$}

, mentres que és solament un objecte terminal en Top. Ademés,

existix un funtor oblit o subjacent Top_{$\{\bullet \}$} $\to$ Top que "oblida" quin punt és el punt base.

Referències

• Gamelin, Theodore W.; Greene, {{{nom2}}} (1999). Introduction to Topology, second edició, Dover Publications. ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician, second edició, Springer. ISBN 0-387-98403-8.