Estructura complexa

En matemàtiques, una estructura complexa sobre un espai vectorial real V és un automorfisme de V que el seu quadrat és igual a menys l'identitat en V. Tal estructura nos permetrà definir la multiplicació per escalares complexos d'un modo canònic, permetent-nos tractar aixina a V, que en un principi era solament un espai vectorial real, com un espai vectorial complex.

Les estructures complexes tenen aplicació en representació de grups i en geometria complexa, a on juguen un paper essencial en la definició de varietats casi complexes.

Definició i propietats

Una estructura complexa sobre un espai vectorial real V és un endomorfisme J : V → V que complix

J² = −aneu_V.

Ací, J² significa J compost en si mateix i aneu_V és l'identitat sobre V. Recordem que en ser V un espai vectorial real, en ell només està en principi definida la multiplicació per escalares reals.

Observem que l'efecte d'aplicar J dos voltes és el mateix que el de la multiplicació per −1. Açò nos recorda l'efecte de la multiplicació per l'unitat imaginària i en els espais vectorials complexos. I de fet, una estructura complexa J nos permetrà dotar a V de l'estructura d'espai vectorial complex. Per a això serà necessari definir la multiplicació per escalares complexos d'esta manera:

(x + i i)v = xv + yJ(v)

para tot número real x,i i tot vector v en V.