Fòrmula de Jensen

En les matemàtiques, i específicament en l'anàlisis complex, la fòrmula de Jensen, presentada per Johan Jensen en 1899, relaciona la magnitut promig d'una funció analítica en un círcul en el número dels seus zeros dins del círcul. Forma una declaració important en l'estudi de funcions completes.

Formulació

Supongam que ƒ és una funció analítica en una regió en el pla complex que conté el disc tancat D del radi r sobre l'orige, a₁, a₂, ..., a_n són els zeros de ƒ en l'interior de D repetits d'acort en la multiplicitat, i ƒ(0) ≠ 0. La fòrmula de Jensen diu que

$\log |f(0)|=\sum _{k=1}^n\log \left(\frac{|a_k|}{r}\right)+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{i\theta })|d\theta .$

Esta fòrmula establix una conexió entre els mòduls dels zeros de la funció ƒ dins del disc D i el promig de log |f(z)| en el círcul del llímit |z| = r, i pot vore's com una generalisació de la propietat de valor mig de les funcions harmòniques. A saber, si f no té zeros en D, llavors la fòrmula de Jensen es reduïx a

$\log |f(0)|=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{i\theta })|d\theta ,$

que és la propietat de valor mig de la funció harmònica $\log |f(z)|$.

Una declaració equivalent de la fòrmula de Jensen que s'usa en freqüència és

$\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{i\theta })|d\theta -\log |f(0)|=\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{n(t)}{t}dt$

a on $n(t)$denota el número de zeros de $f$en el disc de radi $t$ centrat en l'orige.

La fòrmula de Jensen pot generalisar-se per a funcions que són merament meromorfas en D. A saber, assumix que

$f(z)=z^l\frac{g(z)}{h(z)},$

a on g i h són funcions analítiques en D que tenen zeros en $a_1,\dots ,a_n\in 𝔻\mathrm{\setminus }\{0\}$i $b_1,\dots ,b_m\in 𝔻\mathrm{\setminus }\{0\}$respectivament, llavors la fòrmula de Jensen per a les funcions meromorfas establix que

$\log \left|\frac{g(0)}{h(0)}\right|=\log \left|r^{m-n}\frac{a_1\dots a_n}{b_1\dots b_m}\right|+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log |f(r{e}^{i\theta })|d\theta .$

La fòrmula de Jensen es pot usar per a estimar el número de zeros de la funció analítica en un círcul. A saber, si f és una funció analítica en un disc de ràdio R centrat en z ₀ i si | f | està llimitat per M en el llímit d'eixe disc, llavors el número de zeros de f en un círcul de ràdio r < R centrat en el mateix punt z ₀ no excedix

$\frac{1}{\log (R/r)}\log \frac{M}{|f(z_0)|}.$

La fòrmula de Jensen és una declaració important en l'estudi de la distribució de valors de funcions completes i meromorfas. En particular, és el punt de partida de la teoria de Nevanlinna.

Fòrmula de Poisson – Jensen

La fòrmula de Jensen és una conseqüència de la fòrmula més general de Poisson – Jensen, que a la seua volta se seguix de la fòrmula de Jensen aplicant una transformació de Möbius a z. Va ser introduït i nomenat per Rolf Nevanlinna. Si f és una funció que és analítica en el disc de l'unitat, en zeros a₁, a₂, ..., a_n ubicat en l'interior del disc de l'unitat, després per a cada $z_0=r_0{e}^{i{\phi }_0}$en l'unitat de disc, la fòrmula de Poisson – Jensen indica que

$\log |f(z_0)|=\sum _{k=1}^n\log \left|\frac{z_0-a_k}{1-{\overline{a}}_k{z}_0}\right|+\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_{r_0}({\phi }_0-\theta )\log |f(e^{i\theta })|d\theta .$

Ací,

$P_r(\omega )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}^{|n|}{e}^{in\omega }$

és el núcleu de Poisson en el disc de l'unitat. Si la funció f no té zeros en el disc de l'unitat, la fòrmula de Poisson-Jensen es reduïx a

$\log |f(z_0)|=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_{r_0}({\phi }_0-\theta )\log |f(e^{i\theta })|d\theta ,$

la qual és la fòrmula de Poisson per a la funció harmònica $\log |f(z)|$.

Referències

• (1979).«Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable».McGraw–Hill.Düsseldorf:
• (1899).«Sur un nouvel et important théorème de la théorie dones fonctions».Acta Mathematica.22(1)

359–364.ISSN 0001-5962.doi:10.1007/BF02417878.

• (1995).«Potential theory in the complex plane».Cambridge University Press.Cambridge:28