Funció completa

En l'anàlisis complex, una funció completa, també cridada funció integral o funció sancera, és una funció de valor complex que és holomórfica en tots els punts finitos de tot el pla complex. Eixemples típics de funcions completes són els polinomis i la funció exponencial, i qualsevol suma finita, productes i composicions d'estos, com les funcions trigonométricas sen i coseno i els seus contrapartes hiperbòliques sinh i cosh, aixina com les derivades i integrals de funcions completes com la funció d'error. Si una funció completa f (z) té una raïl en w, llavors f(z)/(z − w), prenent el valor llímit en w, és una funció completa. Per un atre costat, ni el logaritmo natural ni la raïl quadrada són una funció completa, ni poden continuar analíticamente a una funció completa.

Una funció completa transcendental és una funció completa que no és un polinomi.

Propietats

Tota la funció f (z) pot representar-se com una série de potències.

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

que convergix en tots els llocs en el pla complex, per lo tant uniformemente en conjunts compactes. El ràdio de convergència és infinit, lo que implica que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|a_n{|}^{\frac{1}{n}}=0$

o

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln |a_n|}{n}=-\mathrm{\infty }.$

Qualsevol série de potències que satisfaça este criteri representarà una funció completa.

Si (i solament si) els coeficients de la série de potències són reals, la funció pren valors reals per als arguments reals i el valor de la funció en el conjugat complex de z serà el conjugat complex del valor en z. Dites funcions a voltes es diuen auto-conjugades (la funció conjugada, $F^{*}(z)$, donada per $\overline{F}(\overline{z})).$

Si es coneix la part real d'una funció completa en un veïnat d'un punt, llavors tant la part real com l'imaginària es coneixen per a tot el pla complex, fins a una constant imaginària. Per eixemple, si la part real es coneix en un veïnat de zero, llavors podem trobar els coeficients per a n> 0 a partir de les següents derivades sobre una variable real r:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{Re}{a}_n& =\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d{r}^n}\mathrm{Re}f(r)& & \text{en }r=0\\ \mathrm{Im}{a}_n& =\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d{r}^n}\mathrm{Re}f\left(r{e}^{-\frac{i\pi }{2n}}\right)& & \text{en }r=0\end{array}$

(De la mateixa manera, si la part imaginària es coneix en una veïnat, llavors la funció es determina fins a una constant real). De fet, si la part real es coneix solament en un arc de círcul, llavors la funció es determina fins a un imaginari constant. (Per eixemple, si la part real es coneix en part del círcul unitari, llavors es coneix en la totalitat del círcul unitari per extensió analítica, i després els coeficients de la série infinita es determinen a partir dels coeficients de la série de Fourier per a la part real en el círcul unitari.) No obstant, tinga en conte que una funció completa no està determinada per la seua banda real en totes les curves. En particular, si la part real es dona en qualsevol curva en el pla complex a on la part real d'alguna atra funció completa és zero, llavors qualsevol múltiple d'eixa funció es pot agregar a la funció que estem tractant de determinar. Per eixemple, si la curva a on es coneix la part real és la llínea real, llavors podem agregar i voltes qualsevol funció d'auto-conjugat. Si la curva forma un bucle, llavors està determinada per la part real de la funció en el bucle, ya que les úniques funcions la part real de les quals és zero en la curva són aquelles que són iguals a qualsevol número imaginario en tots els llocs.

El teorema d'factorización de Weierstrass afirma que qualsevol funció completa pot ser representada per un producte que involucre els seus zeros (o "raïls").

Totes les funcions en el pla complex formen un domini integral (de fet, un domini de Prüfer). També formen un àlgebra associativa unital conmutativa sobre els número complejo.

El teorema de Liouville establix que qualsevol funció completa acotada deu ser constant. La teorema de Liouville pot usar-se per a provar en elegància el teorema fonamental de l'àlgebra.

Com a conseqüència de la teorema de Liouville, qualsevol funció que siga completa en tota l'esfera de Riemann (pla complex i el punt en l'infinit) és constant. Per lo tant, qualsevol funció completa no constant deu tindre una singularitat en el punt complex en l'infinit, ya siga un pol per a un polinomi o una singularitat essencial per a una funció completa transcendental. Específicament, segons la teorema de Casorati-Weierstrass, per a qualsevol funció completa transcendental f i qualsevol complex w hi ha una seqüència $(z_m{)}_{m\in \mathbb{N}}$ tal que

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }|z_m|=\mathrm{\infty },\text{y}\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z_m)=w.$

El chicotet teorema de Picard és un resultat molt més sòlit: qualsevol funció completa no constant pren cada número complejo com a valor, possiblement en una sola excepció. Quan existix una excepció, se li crida valor lacunario de la funció. La possibilitat d'un valor lacunario s'ilustra per mig de la funció exponencial, que mai pren el valor 0. Un pot prendre una branca adequada del logaritmo d'una funció completa que mai aplega a 0, de modo que esta també serà una funció completa (segons el teorema d'factorización de Weierstrass). El logaritmo afecta a tots els número complejo, llevat possiblement a un número, lo que implica que la primera funció alcançarà qualsevol valor distint de 0 un número infinit de voltes. De manera similar, una funció completa i no constant que no alcança un valor en particular afectarà a cada atre valor un número infinit de voltes.

La teorema de Liouville és un cas especial de la següent afirmació:

Creiximent

Funciones completes poden créixer tan ràpit com qualsevol funció en aument: per a qualsevol funció en aument g: [0, ∞) → [0, ∞) existix una funció completa f tal que f (x)> g (|x|) para tot real X. Tal funció f es pot trobar fàcilment de la forma:

$f(z)=c+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{k}\right)}^{n_k}$

per a una constant c i una seqüència estrictament creixent de sancers positius n_k. Qualsevol seqüència d'este tipo definix una funció completa f (z), i si les potències s'elegixen adequadament, podem satisfer la desigualtat f (x)> g (|x|) para tota la x real. (Per eixemple, certament es manté si un elegix c: = g (2) i, per a qualsevol sancer $k\ge 1,n_k:=2\lceil k\ln g(k+2)\rceil$ encara que açò otorga poders que poden ser aproximadament el doble d'alts que els necessaris.

Vore també

• Fòrmula de Jensen
• Teorema de Carlson
• Tipo exponencial
• Teorema de Paley–Wiener
• Teoria de Wiman-Valiron

Referències

• Ralph P. Boes (1954). Entire Functions, Academic Press. OCLC 847696.
• B. Ya. Levin (1980). Distribution of zeros of entire functions, Amer. Math. Soc..
• B. Ya. Levin (1996). Lectures on entire functions, Amer. Math. Soc..