Falaguera de Barnsley

Falaguera de Barnsley

La falaguera de Barnsley és un fractal que du el nom del matemàtic britànic Michael Barnsley, qui ho va descriure per primera volta en el seu llibre de 1993 "Fractals Everywhere" (Fractales en tots els llocs). Ho va idear per a que la seua forma se semblara als fulls del adianto negre, un falaguera comuna en zones plujoses de tot lo món.

Història

La falaguera és un dels eixemples bàsics de conjunts autosemejantes, és dir, és un patró generat matemàticament que pot reproduir-se en qualsevol aument o reducció. De la mateixa manera que el triàngul de Sierpinski, la falaguera de Barnsley mostra cóm es poden construir estructures gràficament belles a partir d'usos repetitius de fòrmules matemàtiques en computadores. El llibre de 1988 de Barnsley "Fractals Everywhere" es basa en el curs que va impartir per a estudiants de pregrado i postgrau en l'Escola de Matemàtiques del Institut de Tecnologia de Geòrgia, cridat "Fractal Geometry". Despuix de la publicació del llibre, es va desenrollar un segon curs, cridat Teoria de la mida fractal. El treball de Barnsley ha segut una font d'inspiració per a que uns atres artistes gràfics intentaren imitar la naturalea en models matemàtics.

Image processada de la falaguera de Barnsley

El còdic de la falaguera desenrollada per Barnsley és un eixemple d'un sistema iterativo de funcions (SIF) per a crear un fractal a partir del teorema del collage. Ha utilisat fractales per a modelar una àmplia gama de fenomens en ciència i tecnologia, pero més específicament en estructures vegetals.

— Michael Barnsley  et al. 

Construcció

Fotografia dels fulls d'una falaguera verdadera

La falaguera de Barnsley usa quatre transformacions afins. La fòrmula d'una transformació és la següent:

$f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$

Barnsley mostra el còdic "IFS" per al seu fractal de falaguera "Black Spleenwort" com una matriu de valors que es mostren en una taula. En la taula, les columnes de la "a" a la "f" són els coeficients de l'equació i "p" representa el factor de provabilitat.

w	a ! b	c	d	i	f	p	Porció generada
ƒ1	0	0	0	0.16	0	0	0.01	Talle
ƒ2	0.85	0.04	−0.04	0.85	0	1.60	0.85	Foliolos successivament més menuts
ƒ3	0.20	−0.26	0.23	0.22	0	1.60	0.07	Foliolo més gran a l'esquerra
ƒ4	−0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07	Foliolo més gran a la dreta

Estos corresponen a les següents transformacions:

$f_1(x,y)=\left[\begin{array}{cc}0.00& 0.00\\ 0.00& 0.16\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$f_2(x,y)=\left[\begin{array}{cc}0.85& 0.04\\ -0.04& 0.85\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.00\\ 1.60\end{array}\right]$

$f_3(x,y)=\left[\begin{array}{cc}0.20& -0.26\\ 0.23& 0.22\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.00\\ 1.60\end{array}\right]$

$f_4(x,y)=\left[\begin{array}{cc}-0.15& 0.28\\ 0.26& 0.24\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.00\\ 0.44\end{array}\right]$

Generació en computadores

Archiu:Barnsley Fern fractals - 4 states. caps block 8

Falaguera fractal en quatre estats de construcció. Els triànguls resaltats mostren cóm la mitat d'un "foliolo" es transforma en la mitat d'una "full" o "fronda" sancera

Encara que, en teoria, la falaguera de Barnsley podria traçar-se a mà en un bolígraf i paper cuadriculado, el número de iteraciones necessàries ascendix a decenes de mills, lo que fa que l'us d'una computadora siga pràcticament obligatori. Molts models informàtics diferents de la falaguera de Barnsley són populars entre els matemàtics contemporàneus. Sempre que les matemàtiques es programen correctament utilisant la matriu de constants de Barnsley, es produirà la mateixa forma de falaguera.

El primer punt dibuixat està en l'orige (x₀ = 0, i₀ = 0) i a continuació els nous punts es calculen iterativamente aplicant aleatoriamente una de les següents quatre transformacions de coordenades:

ƒ₁

x_{n + 1} = 0

i_{n + 1} = 0.16 i_n.

Esta transformació de coordenades s'elegix el 1% del temps i simplement assigna qualsevol punt a un punt en el primer segment de llínea en la base del talle. Esta part de la figura és la primera que es completa durant el transcurs de les iteraciones.

ƒ₂

x_{n + 1} = 0.85 x_n + 0.04 i_n

i_{n + 1} = −0.04 x_n + 0.85 i_n + 1.6.

Esta transformació de coordenades s'elegix el 85% de les voltes i calcula qualsevol punt dins del foliolo representat pel triàngul roig a un punt dins del folliolo opost, més menut, representat pel triàngul blau en la figura.

ƒ₃

x_{n + 1} = 0.2 x_n - 0.26 i_n

i_{n + 1} = 0.23 x_n + 0.22 i_n + 1.6.

Esta transformació de coordenades s'elegix el 7% del temps i calcula qualsevol punt dins del foliolo representat pel triàngul blau a un punt dins del triàngul corresponent altern a través del talle (lo voltea).

ƒ₄

x_{n + 1} = −0.15 x_n + 0.28 i_n

i_{n + 1} = 0.26 x_n + 0.24 i_n + 0.44.

Esta transformació de coordenades s'elegix el 7% de les voltes i calcula qualsevol punt dins del foliolo representat pel triàngul blau a un punt dins del triàngul corresponent altern a través del talle (sense voltearlo).

La primera transformació de coordenades dibuixa el talle. La segona genera còpies successives del talle i les frondas inferiors per a formar la falaguera completa. La tercera dibuixa la fronda inferior a l'esquerra. El quarto dibuixa la fronda inferior a la dreta. La naturalea recursiva de el SIF garantisa que el conjunt siga una rèplica més gran de cada fronda. Deu tindre's en conte que la falaguera completa està dins del ranc −2,1820 < x < 2.6558 i 0 ≤ i < 9.9983.

Varietats mutantes

Archiu:Barnsley fern with different coefficients plotted with VisSim. caps block 13

Falaguera de Barnsley transformat en un falaguera telipteridáceo

Archiu:Barnsley fern mutated -Leptosporangiate fern. caps block 14

Falaguera de Barnsley transformat en un polipodio

Jugant en els coeficients, és possible crear varietats de falagueres mutantes. En el seu artícul sobre fractales V-variables, Barnsley flama a esta traça un "superfractal".

No obstant, un experimentador ha elaborat una taula de coeficients per a produir una atra falaguera d'aspecte notablement natural, semblat a les falagueres Cyclosorus o Thelypteridaceae. Estos valors paramètrics són:

w	a ! b	c	d	i	f	p
ƒ1	0	0	0	0.25	0	−0.4	0.02
ƒ2	0.95	0.005	−0.005	0.93	−0.002	0.5	0.84
ƒ3	0.035	−0.2	0.16	0.04	−0.09	0.02	0.07
ƒ4	−0.04	0.2	0.16	0.04	0.083	0.12	0.07