Fenomen de Runge

La curva roja és la Plantilla:Color.
La curva blava és un Plantilla:Color (usant sis punts equiespaciados).
La curva verda és un Plantilla:Color (usant dèu punts equiespaciados).
Als punts interpolantes l'error entre la funció i el polinomi interpolantes és zero (per definició). Entre estos punts (especialment prop dels extrems 1 i -1) l'error entre la funció i el polinomi interpolante incrementa conforme el polinomi aumenta d'orde.

En el camp matemàtic del anàlisis numèric, el fenomen de Runge és un problema que succeïx quan s'usa interpolació polinòmica en polinomis d'alt grau utilisant nodos equidistants. Ho va descobrir Carl David Tolmé Runge quan explorava el comportament dels errors en usar interpolació polinòmica per a aproximar determinades funcions.

Problema

Considere's la funció:

$f(x)=\frac{1}{1+25x^2}.$

Runge va descobrir que si es interpola esta funció utilisant nodos equidistants x_i entre −1 i 1 tal que:

$x_i=-1+(i-1)\frac{2}{n},i\in \{1,2,\dots ,n+1\}$

en un polinomi $P_n(x)$ de grau $\le n$, l'interpolació resultant oscila cap als extrems de l'interval, és dir, prop de −1 i 1. Inclús es pot provar que l'error d'interpolació tendix a infinit quan creix el grau del polinomi:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{-1\le x\le 1}{\max }|f(x)-P_n(x)|)=\mathrm{\infty }.$

Solucions al problema del fenomen de Runge

L'oscilació es pot minimisar usant nodos de Chebyshev en lloc d'equidistants. En este cas es garantisa que l'error màxim disminuïx en créixer l'orde polinòmic. El fenomen demostra que els polinomis de grau alt no són, en general, aptes per a l'interpolació. Este problema es pot evitar usant curves spline, que són polinomis per parts. Quan s'intenta reduir l'error d'interpolació es pot incrementar el número de parts del polinomi que s'usen per a construir el spline, en lloc d'incrementar el seu grau.

Vore també

• Comparar en el fenomen de Gibbs per a funcions de base sinusoide.