Formulació dèbil d'una equació diferencial

La formulació dèbil (o formulació variacional) d'un problema definit per mig d'equacions diferencials és una forma alternativa en que dites equacions s'escriuen en forma integral, donant lloc a equacions tractables per mig dels métodos del àlgebra llineal sobre un espai vectorial de dimensió infinita o espai funcional.

A continuació s'introduïx la formulació dèbil en general, es donen alguns eixemples i es presenta la principal teorema de la formulació dèbil: la teorema de Lax-Milgram, que permet assegurar l'existència i unitat d'una àmplia classe de problemes en forma dèbil.

Introducció

Considere's una equació diferencial i unes condicions de contorn de la forma:

A on:

$𝒟$ és un operador diferencial.

$u$ és la funció matemàtica incògnita o solució que es busca de l'equació diferencial.

$f$ és una funció matemàtica coneguda que servix per a definir el problema (en un problema mecànic usualment definix les forces, en un problema tèrmic els fluix de calor o les temperatures, etc).

Per a trobar la forma dèbil del problema anterior necessitem presupondre certes condicions raonables sobre la solució, en concret, necessitem supondre que la funció coneguda $f\in V_f$ i la funció incògnita $u\in V_u$ pertanyen cada una a un espai de funcions ($V_f,V_u$) que tenen estructura d'espais de Banach reflexius ($V_u={V_u}^{″}\wedge V_f={V_f}^{″}$). Més concretament, l'hipòtesis comuna és que l'espai de Banach al que pertany la funció incògnita és un subespacio $V_u\subset {V_f}^{\prime }$ del espai dual de $V_f$. Fetes eixes precisió el problema (1) es pot formular com:

A on:

${𝐀}_{𝒟}:V_u\to {V_u}^{\prime }$ i $f\in {V_u}^{\prime }$ és espai dual de $V_u$.

Formulats en eixa forma els problemes (1a) i (1b) són essencialment equivalents i igualment difícils. La forma dèbil del problema s'obté a partir de càlcul de variacions que nos diu si $u$ és solució de (1b) llavors també és solució del problema (2a):

Les funcions, $v$ es diuen funcions de prova i el conjunt de totes elles genera l'espai de Banach $V_u$. Quan l'operador ${𝐀}_{𝒟}$ és llineal llavors el problema (2a) es pot escriure per mig d'una forma bilineal $a(\cdot ,\cdot ):V_u\times V_u\to {ℝ}^n$ com:

A on la forma bilineal ve donada per:

Degut a que l'introducció anterior és provablement molt abstracta convé introduir alguns eixemples per a ilustrar-la.

Eixemples

En esta secció es particularizan els resultats anteriors a dos casos simples: l'equació de Poisson que una volta expressada en forma dèbil dona lloc a un problema variacional elíptic definit sobre l'espai de Sobolev i el cas del problema elàstic llineal.

Equació de Poisson

Considerem l'equació de Poisson en el cridat problema de Dirichlet:

A on el domini $\Omega \subset {ℝ}^d$. Una solució ordinària o "fort" del problema anterior és una funció:

No obstant, per a reformular este problema en forma dèbil devem introduir alguna estructura adicional per a definir pròpiament els espais funcionals sobre els que es plantejarà un problema essencialment equivalent. En primer lloc definim el producte escalar $(\cdot ,\cdot )$ típic del espai L²(Ω):

Ara derivem la forma dèbil, multiplicant l'equació (3a) per una funció diferenciable $v$ tenim que:

Suponent que la funció $v$ és de Soport compacte contingut en l'interior domini Ω, i integrant per parts es té:

Com la funció $v$ és arbitrària, tenim que si o és una solució "fort" de (3a) llavors també serà una solució "dèbil" de (3b):

A on s'han definit les funcions:

La forma equació (3b) és precisament la "forma dèbil" de l'equació de Poisson sobre l'espai de Sobolev $H_0^1(\Omega )\subset L^2(\Omega )$. L'interés de la forma dèbil és que per a problemes d'interés pràctic la solució pot calcular-se per mig del método dels elements finitos sense major complicació, aun cuando una solució analítica de (3a) no siga senzilla de trobar per a un domini donat.

Igualment el procediment anterior també explica els térmens "forma dèbil" i "solució dèbil": Donada una solució "fort" de (3a) llavors també és solució de (3b), encara que una solució de (3b) no és estrictament una solució de (3a) a menos que dita solució siga una funció dos voltes diferenciable, encara que en el sentit de les distribucions sí és una solució en eixe sentit més "dèbil".

Problema elàstic

Artícul principal → Problema elàstic.

El problema elàstic llineal plantejat en térmens d'equacions en derivades parcials el problema elàstic consta de les següents equacions:

Siga ara el domine $\Omega \subset {ℝ}^n$, i siguen la descomposició del contorn del domini, $\partial \Omega ={\overline{\Gamma }}_u\cup {\overline{\Gamma }}_g$, sent ${\Gamma }_u,{\Gamma }_g$ conjunts oberts i disjuntos (${\Gamma }_u\cap {\Gamma }_g=\varnothing$) a on en cada una d'eixes dos àrees predominen les condicions de Dirichlet i Von Neumann:

El problema en forma variacional s'expressa com:

A on:

$a(𝐮,𝐯)=\underset{\Omega }{\int }𝐂𝜺(𝐮):𝜺(𝐮)d\Omega$, és una forma bilineal sobre l'espai funcional en que es planteja el problema.

$⟨\ell ,𝐯⟩=\underset{\Omega }{\int }𝐟\cdot 𝐯d\Omega +\underset{{\Gamma }_g}{\int }𝐠\cdot 𝐯d\omega$

Referències

Bibliografia

• P. G. Ciarlet (1978):The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Ámsterdam, 1978.
• P. G. Ciarlet (1991):"Basic error estimates for elliptic problems" en Handbook of Numerical Analysis (Vol II) J.L. Lions i P. G. Ciarlet (ed.), North-Holland, Ámsterdam, 1991, p. 17-351.