Fractal de Lyapunov
En matemàtiques, els fractales de Lyapunov (també coneguts com fractales de Markus-Lyapunov) són fractalés de forcall derivats d'una extensió de l'aplicació llogística, en la que el grau de creiximent de la població, r, canvia periòdicament entre dos valors A i B.[1]
Construcció
[editar | editar còdic]
Un fractal de Lyapunov es construïx representant les regions d'estabilitat i comportament caòtic (mides usant l'exponent de Lyapunov ) en el pla a − b per a les seqüències periòdiques donades de a i b. En les imàgens, el groc correspon a (estabilitat) i el blau correspon a (caos).
Els fractales de Lyapunov varen ser descoberts a fins de la década de 1980[2] pel físic germà-chilé Mario Markus, membre del Institut Max Planck de Fisiologia Molecular. Varen ser presentats al gran públic per un artícul de divulgació científica sobre matemàtica recreativa publicat en Scientific American en 1991.[3]
Propietats
[editar | editar còdic]Els fractales de Lyapunov generalment es representen per a valors de A i B en l'interval . Per a valors majors, l'interval [0,1] ya no és estable, i és provable que la seqüència siga atreta per l'infinit, encara que continuen existint cicles convergents de valors finitos per a alguns paràmetros. Per a totes les seqüències de iteración, la diagonal a = b és sempre la mateixa que per a la funció llogística estàndar d'un paràmetro.
La seqüència generalment s'inicia en el valor 0.5, que és un punt crític de la funció iterativa.[4] Els atres punts crítics (inclús en valors complexos) de la funció iterativa durant una ronda completa són aquells que passen pel valor 0.5 en la primera ronda. Un cicle convergent deu atraure a lo manco un punt crític.[5] Per lo tant, tots els cicles convergents es poden obtindre simplement canviant la seqüència de iteración i mantenint el valor inicial 0.5. En la pràctica, canviar esta seqüència conduïx a canvis en el fractal, ya que algunes branques queden cobertes per unes atres. Per eixemple, el fractal de Lyapunov per a la seqüència de iteración AB (vore la figura superior la dreta) no és perfectament simètric sobre a i b.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Vore Markus 1989.
- ↑ Vore Markus 1989 i Markus 1990.
- ↑ See Dewdney 1991.
- ↑ Vore Markus 1990, p. 483.
- ↑ See Markus 1990, p. 486.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Fractal de Lyapunov» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.