Funció de Carmichael

En Teoria de números, la funció de Carmichael d'un sancer positiu n, denotada λ(n), es definix com el menor sancer m tal que complix:

$a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

per a cada número entero a coprimo en n. En atres paraules, definix l'exponent del grup multiplicativo de residus mòdul n (Z/nZ)^&claves;.

Els primers valors de λ(n) són 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12 Plantilla:OEIS.

Definició

La funció es pot definir recursivamente com seguix:

Per a un primer p i un sancer positiu k tal que p ≥ 3 o k &li; 2:

$\lambda (p^k)=p^{k-1}(p-1).$ (De la mateixa manera que la funció φ de Euler).

Per a p=2 i un exponent k ≥ 3,

$\lambda (2^k)=2^{k-2}$

Per a distints primers $p_1,p_2,\dots ,p_t$ i sancers positius $k_1,k_2,\dots ,k_t$:

$\lambda (p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_t^{k_t})=\mathrm{mcm}(\lambda (p_1^{k_1}),\lambda (p_2^{k_2}),\cdots ,\lambda (p_t^{k_t}))$

a on mcm denota el mínim comú múltiple.

En forma compactar, la funció queda com:

$\lambda (n)=\{\begin{array}{cc}{p}^{k-1}(p-1)& \text{si}n=p^k,\text{con}p\ge 3\text{o}k\le 2\\ 2^{k-2}& \text{si}n=2^k,\text{con}k\ge 3\\ \mathrm{mcm}(\lambda (p_1^{k_1}),\lambda (p_2^{k_2}),\cdots ,\lambda (p_t^{k_t}))& \text{si}n=\prod _{i=1}^t{p}_i^{k_i}\end{array}$

Teorema de Carmichael

En la funció de Carmichael, es pot elaborar una teorema, similar al teorema de Euler, este diu:

Si a és un número coprimo en n, llavors aλ(n) ≡ 1 (mod n)

a on $\lambda$ és la funció de Carmichael. Este pot provar-se considerant qualsevol raïl primitiva mòdul n i el teorema chinenca del restant.

Vore també

• Aritmètica modular
• Menuda teorema de Fermat
• Teorema de Euler