Funció densitat d'energia de deformació

Una funció de densitat d'energia de deformació (FDED) o funció de densitat d'energia almagasenada és una funció escalar que relaciona la energia de deformació d'un material en el gradient de deformació i una atra mida alternativa de deformació (usualment algun tipo de tensor de deformació).

Introducció

Matemàticament, la densitat d'energia de deformació és un potencial escalar que permet trobar l'equació constitutiva d'un material elàstic. Existixen diverses formes alternatives de funcions de densitat d'energia almagasenada depenent del tipo de magnitut tensorial que es trie per a medir o representar la deformació:

o equivalentemente

a on $𝑭$ és el tensor gradient de deformació, $𝑪$ és el tensor dret de Cauchy-Green, $𝑩$ és el tensor esquerre de Cauchy-Green, i $𝑹$ és el tesnor de rotació de la descomposició polar de $𝑭$.

Materials isótropo i anisótropos

Per a un material anisótropo, l'energia de densitat d'energia elàstica $\hat{W}(𝑪)$ depén implícitament de vectores de referència o tensors (com els que donen l'orientació predominant de fibres en composites) que caracterisen la microestructura interna del material. La representació espacial, $\tilde{W}(𝑩,𝑹)$ deu ademés dependre explícitament del tensor de rotació polar $𝑹$.

Per a un material isótropo, la consideració del principi d'indiferència material du a la conclusió de que la densitat d'energia elàstica depén solament dels invariantes algebraics de $𝑪$ (o, equivalentamente, els invariantes de $𝑩$ lloc que abdós compartixen els mateixos valors propis). En atres paraules, la funció densitat d'energia elàstica pot expressar-se de manera única en térmens dels estiramientos principals o en térmens dels invariantes d'algun tensor deformació, aixina tenim, per a materials isótropo:

a on,

$\begin{array}{cc}{\overline{I}}_1& =J^{-2/3}{I}_1;I_1={\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2;J=\det (𝑭)\\ {\overline{I}}_2& =J^{-4/3}{I}_2;I_2={\lambda }_1^2{\lambda }_2^2+{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+{\lambda }_3^2{\lambda }_1^2\end{array}$

Una densitat d'energia elàstica s'usa per a definir un material hiperelástico postulant que la tensió mecànica en el material es pot obtindre considerant la derivada de $W$ sobre les components del tensor deformació. Per a un material isótropo, hipereásltico la funció relaciona l'energia almagasenada en un material elàstica i, per tant, la relació tensió-deformació, en les tres deformacions principals, sense necessitat d'incloure l'història de deformacions prèvies del material (o el seu malbarat calòric o la seua relaixació de tensions), sino solament la deformació present.