Funció doble exponencial

Archiu:Double Exponential Function.svg

Una funció exponencial doble (curva roja) en comparació a una funció exponencial simple (curva blava)

Una funció doble exponencial (o exponencial doble) és una constant elevada a la potència d'una funció exponencial. La fòrmula general és $f(x)=a^{b^x}=a^{(b^x)}$ (a on a>1 i b>1), i el seu creiximent és molt més ràpit que el d'una funció exponencial. Per eixemple, si a = b = 10:

• f(0) = 10
• f(1) = 10¹⁰
• f(2) = 10¹⁰⁰ = gúgol
• f(3) = 10¹⁰⁰⁰
• f(100) = 10¹⁰¹⁰⁰ = gúgolplex.

Els factorialés creixen més ràpit que les funcions exponencials, pero molt més llentament que les funcions doblement exponencials. No obstant, la tetración i la funció de Ackermann creixen més ràpit encara. Vore cota superior asintòtica per a una comparació de la taxa de creiximent de distintes funcions.

L'invers de la funció doble exponencial és el doble logaritmo log(log(x)).

Successions doblement exponencials

Es diu que una seqüència de sancers positius (o número real) té una taxa de creiximent doblement exponencial si la funció que dona el terme n de la seqüència està llimitada per dalt i per avall per funcions doblement exponencials de n. Entre els eixemples s'inclouen:

• Els números de Fermat $$F(m)=2^{2^m}+1$$
• Els cosins harmònics, és dir, els primers p en els que la successió 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p supera a 0, 1, 2, 3, … Els primers números, a partir del 0, són 2, 5, 277, 5195977, ... Plantilla:OEIS
• Els números dobles de Mersenne $$MM(p)=2^{2^p-1}-1$$
• Els elements de la successió de Sylvester Plantilla:OEIS $$s_n=\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2}\rfloor$$ a on I ≈ 1.264084735305302 és la constant de Vardi Plantilla:OEIS.
• Les funcions booleanas k-àries: $$2^{2^k}$$
• Els número primo 2, 11, 1361, ... Plantilla:OEIS $$a(n)=\lfloor A^{3^n}\rfloor$$ a on A ≈ 1.306377883863 és la constant de Mills.

Alfred Aho i Neil Sloane varen observar que en varis successions sanceres importants, cada terme és una constant més el quadrat del terme anterior. Mostren que tals seqüències poden formar-se redonejant al sancer més propenc als valors d'una funció doblement exponencial en exponent mig 2. Ionaşcu i Stănică descriuen algunes condicions suficients més generals per a que una seqüència siga el sol d'una seqüència doblement exponencial més una constant.

Aplicacions

Complexitat algorítmica

En teoria de la complexitat computacional, 2-EXPTIME és la classe de problemes de decisió que es poden resoldre en un temps doblement exponencial. És equivalent a AEXPSPACE, el conjunt de problemes de decisió que es poden resoldre en una màquina de Turing alternante en l'espai exponencial, i és un superconjunto d'EXPSPACE. Un eixemple d'un problema en 2-EXPTIME que no està en EXPTIME és el problema de provar o refutar declaracions en l'aritmètica de Presburger.

En alguns atres problemes en el disseny i anàlisis d'algoritmes, les seqüències doblement exponencials s'usen dins del disseny d'un algoritme en lloc d'en el seu anàlisis. Un eixemple és l'algoritme de Chan per a calcular una envolvente convexa, que realisa una seqüència de càlculs usant valors de prova h_i = 2²ⁱ (estimacions per al tamany d'eixida final), prenent el temps O(n log  h_i) per a cada valor de prova en la seqüència. Pel doble creiximent exponencial d'estos valors de prova, el temps per a cada càlcul en la seqüència creix exponencialment en funció de i, i el temps total està dominat pel temps del pas final de la seqüència. Per lo tant, el temps total per a l'algoritme és O(n log h) a on h és el tamany d'eixida real.

Teoria de números

Alguns llímits de la teoria de números són exponencials dobles. Se sap que els número perfecto en n factors primers distints són com a màxim $2^{4^n}$, resultat demostrat per Nielsen (2003).

El volum màxim d'un politopo en una retícula sancera de dimensió d en k ≥ 1 punts reticulars interiors és com a màxim de

$k\cdot (8d{)}^d\cdot 15^{d\cdot 2^{2d+1}},$

resultat de Pikhurko (2001).

El major número primo conegut en l'era electrònica ha creixcut aproximadament com una funció exponencial doble des de l'any en el que Miller i Wheeler varen trobar un número primo de 79 dígits en l'ordenador EDSAC1 en 1951.

Biologia teòrica

En dinàmica de poblacions, a voltes se supon que el creiximent de la població humana és doblement exponencial. Varfolomeyev i Gurevich varen propondre en valors experimentalment ajustats que

$N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}}$

a on N(i) és la població en millons en l'any i.

Aplicacions en física

En el model del oscilador de Tota d'autopulsación, el logaritmo de l'amplitut varia exponencialment en el temps (per a amplitut grans), per lo que l'amplitut varia com una funció del temps doblement exponencial.

S'ha observat que les macromoléculas dendríticas creixen de forma doblement exponencial.