Geometria no conmutativa

En matemàtiques i física matemàtica, i en particular en anàlisis funcional, per analogia en la representació de Gelfand-Naimark, que demostra que les C*-àlgebra conmutativas són duals dels espais de Hausdorff localment compactes, les C*-àlgebra no conmutativas són cridades, a sovint, espais no conmutativos.

L'idea bàsica és que l'estructura d'un espai topològic pot ser entesa analisant les propietats de la C*-àlgebra de funcions contínues definides sobre ell. Ademés qualsevol C*-àlgebra conmutativa pot ser representada cóm la C*-àlgebra de funcions complexes definides sobre un cert espai. Això du a concebre l'analogia de que en realitat les C*-àlgebra no-conmutativas estan descrivint la "geometria" d'algun tipo d'entitat geomètrica més complexa, que és lo que correspondria pròpiament a eixa "geometria no conmutativa". Esta idea es deu a Alain Connes que l'ha desenrollat i ha tractat d'aplicar les seues idees a la fundamentación de la mecànica quàntica.

Eixemples

• l'espai de fase simpléctico de la mecànica clàssica és deformat en un espai de fase no conmutativo generat pels operadors de posició i moment.

També, en analogia a la dualitat entre els esquemes afins i les àlgebra polinòmiques, podem també tindre esquemes afins no conmutativos.

Per la dualitat entre els espais de mida localment compactes i les àlgebra de von Neumann conmutativas, cridem espais de mida no conmutativos a les àlgebra de von Neumann no conmutativas.

Referències

Bibliografia

• Alain Connes (2001): Noncommutative Geometry.