Integració de Lebesgue–Stieltjes

En l'anàlisis de la teoria de mides i atres branques relacionades de la matemàtica, la Integració de Lebesgue–Stieltjes és una generalisació de l'integral de Riemann-Stieltjes i l'integració de Lebesgue, preservant les moltes ventages d'abdós en un marc més general de teoria de mides. L'integral de Lebesgue-Stieltjes és l'integral ordinària de Lebesgue respecte a una mida coneguda com la mida de Lebesgue–Stieltjes, que pot estar associada a qualsevol funció de variació finita en la llínea real. La mida de Lebesgue-Stieltjes és una mida regular de Borel, i de manera oposta tota medida regular de Borel en la llínea real és d'este tipo.

Les integrals de Lebesgue–Stieltjes, nomenades aixina per Henri Leon Lebesgue i Thomas Joannes Stieltjes, són també conegudes com les integrals de Lebesgue–Radon o simplement integrals de Radon, per Johann Radon, a qui es deu molta de la teoria. Ells varen trobar aplicacions en comuna entre les provabilitats i els processos estocàstics, i en certes branques del anàlisis matemàtic incloent la teoria del potencial.

Definició

L'integral de Lebesgue–Stieltjes: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$ és definida quan $f:[a,b]\to ℝ$ és Borel-mesurable i finita i $g:[a,b]\to ℝ$ és de variació finita en $[a,b]$ i contínua per la dreta, o quan $f$ és no negativa i $g$ és monòtona i contínua per la dreta. Per a escomençar, s'assumix que $f$ és no negativa i que $g$ és monòtona no decreixent i contínua per la dreta. Es definix $w[(s,t]):=g(t)-g(s)$ i $w(\{a\}):=0$ (alternativament, la construcció funciona per a $g$ contínua per l'esquerra, $w([s,t)):=w(t)-w(s)$ i $w(\{b\}):=0$).

Pel Teorema de Carathéodory, existix una única mida de Borel ${\mu }_g$ en $[a,b]$ que concorde en $w$ en cada interval $I$. La mida ${\mu }_g$ sorgix d'una mida exterior (de fet, una mida exterior mètrica) donada per

${\mu }_g(E)=\inf \{\sum _i{\mu }_g(I_i)|E\subset \bigcup _i{I}_i\}$

l'ínfim entre totes les cobertura de I pels distints intervals semiabiertos. Esta mida és anomenada comunament com la mida Lebesgue–Stieltjes associada a g.

L'integral de Lebesgue–Stieltjes

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

pot ser definida com l'integral de Lebesgue de ƒ sobre la mida μ_g en la manera usual. Si g és no decreixent, llavors es definix

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x):=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(-g)(x),$

sent l'última integral definida per la construcció precedent.

Si g és de variació finita i ƒ és finita, llavors és possible plantejar

$dg(x)=d{g}_1(x)-d{g}_2(x)$

a on és la variació total deg en l'interval [a,x], i g₂(x) = g₁(x) − g(x). Tant g₁ com a g₂ són monòtones no decreixents. Ara l'integral de Lebesgue–Stieltjes sobre g és definida per

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_1(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_2(x),$

a on les dos últimes integrals estan ben definides donada la construcció precedent.

Integral de Daniell

Una aproximació alternativa Plantilla:Harv és definir l'integral de Lebesgue–Stieltjes com l'integral de Daniell que estén l'integral usual de Riemann–Stieltjes. Siga g una funció no ascendent contínua per la dreta en [a,b], i I(ƒ) l'integral de Riemann–Stieltjes

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

per a tota funció contínua ƒ. l'operació I definix una mida de Radon sobre [a,b]. Esta operació pot ser estesa a la classe de totes les funcions no negatives definint

$\bar{I}(h)=\sup \{I(f)|f\in C[a,b],0\le f\le h\}$

i

$\overline{\stackrel{‾}{I}}(h)=\inf \{I(f)|f\in C[a,b],h\le f\}.$

Per a funcions mesurables per Borel, es té

$\bar{I}(h)=\overline{\stackrel{‾}{I}}(h),$

i abdós costats de l'identitat definixen l'integral de Lebesgue–Stieltjes

de h. La mida externa μ_g és definida a partir de

${\mu }_g(A)=\overline{\stackrel{‾}{I}}({\chi }_A)$

a on χ_A és la funció característica de A.

Integradors de variació finita són manejats d'igual forma a l'anterior, descomponent en variacions positives i negatives.

Eixemple

Suponga que $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^2$ és una curva corregidora en el pla i $\rho :{ℝ}^2\to [0,\mathrm{\infty })$ és Borel-mesurable. Llavors es pot definir la llongitut de $\gamma$ sobre la mètrica euclidiana mida per $\rho$ com $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho (\gamma (t))d\ell (t)$, a on $\ell (t)$ és la llongitut de la restricció de $\gamma$ per a $[a,t]$.

Esta és comunament cridada la $\rho$-mida de $\gamma$.

Esta noció és prou útil per a vàries aplicacions: per eixemple, en terrenys lodosos la velocitat en que una persona es pot moure depén de la profunditat del fanc. Si $\rho (z)$ denota l'inversa de la velocitat en o prop de $z$, llavors la $\rho$-llongitut de $\gamma$

és el temps que prendria creuar $\gamma$. El concepte de llongitut extrema usa esta noció de $\rho$-llongitut de curves i és útil en l'anàlisis de [[transformació conforme|transformacions conformes]].

Referències

• (1974).«Measure Theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (1965).«Real and abstract analysis».Springer-Verlag..
• Saks, Stanislaw (1937). Theory of the Integral (en anglés).
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.