Joc octal

Els jocs octales són una classe de jocs per a dos jugadors que impliquen llevar fiches (peces de joc o pedres) de montons de fiches. S'han estudiat en la teoria de jocs combinatoris com una generalisació de Nim, Kayles i jocs similars.

Els jocs octales són imparcials, lo que significa que tots els moviments disponibles per a un jugador també estan disponibles per a l'atre jugador. Es diferencien entre sí en la cantitat de tokens que es poden eliminar en un sol moviment i (depenent d'este número) si es permet eliminar un montó complet, reduir el tamany d'un montó o dividir un montó en dos montons. Estes variacions de les regles es poden descriure de forma compacta per mig d'un sistema de codificació que utilisa números octales.

Especificació del joc

Un joc octal es juga en fiches dividides en montons. Dos jugadors es turnan per a moure's fins que no és possible realisar cap moviment. Cada moviment consistix en seleccionar solament un dels montons, i

• eliminar tots els tokens del montó, sense deixar cap montó,
• eliminant alguns pero no tots els tokens, deixant un montó més menut, o
• llevant algunes de les fiches i dividint les fiches restants en dos montons no buits.

Els montons distints del montó seleccionat permaneixen sense canvis. L'últim jugador en moure's gana en el joc normal. El joc també es pot jugar en joc misère, en el que l'últim jugador en moure pert.

Els jocs que es juguen en montons d'esta manera, en els que els moviments permesos per a cada montó estan determinats pel tamany del montó original, es denominen jocs de prendre i trencar en la lliteratura. Els jocs octales són un subconjunt dels jocs de prendre i trencar en els que els moviments permesos estan determinats per la cantitat de fiches que es eliminen del montó.

El còdic octal d'un joc s'especifica com

0 . d₁ d₂ d₃ d₄ …,

a on el dígit octal d_n especifica si el jugador pot deixar zero, un o dos montons despuix d'eliminar n tokens d'un montó. El dígit d_n és la suma de

• 1 si es permet deixar zero montons, 0 en cas contrari;
• 2 si es permet deixar un montó, 0 en cas contrari; i
• 4 si es permet deixar dos montons, 0 en cas contrari.

Els tokens zero no es conten com un montó. Per lo tant, el dígit d_n és impar si un montó de n tokens pot eliminar-se per complet, i inclús de lo contrari. L'especificació dels resultats d'un montó en d_n aplica a l'eliminació de n tokens d'un montó de més de n . Els resultats de dos montons en d_n s'apliquen a eliminar n tokens d'un montó d'a lo manco n +2 i separar el restant en dos montons no buits.

Els jocs octales poden permetre dividir un montó en dos parts sense llevar cap ficha, per mig de l'us del dígit 4 a l'esquerra del punt decimal. Açò és similar al moviment en el joc de Grundy, que consistix en dividir un montó en dos parts desiguals. La notació de joc octal estàndart, no obstant, no té el poder d'expressar la restricció de parts desiguals.

Els jocs octales en solament un número finito de dígits distints de zero es denominen jocs octales finitos.

Partits octales particulars

Nim

El joc més fonamental en la teoria de jocs combinatoris és Nim, en el que es pot eliminar qualsevol número de fiches d'un montó, deixant zero o un. El còdic octal per a Nim és 0.333… , apareixent en la lliteratura publicada com

$0.\dot{3}$,

per a indicar la part repetida com un decimal periòdic. No obstant, la part repetida no juga el mateix paper que en les fraccions octales, ya que els jocs

$0.0\dot{7}$

i

$0.1$

no són idèntics, a pesar de la seua igualtat com a fraccions octales.

Kayles

El joc Kayles generalment es visualisa com jugat en una fila de n pines, pero pot ser modelat per un montó de n contadors. A un se li permet eliminar un o dos tokens d'un montó i organisar el restant en zero, un o dos montons. El còdic octal de Kayles és 0,77.

Escacs de Dawson

l'escacs de Dawson és un joc que sorgix d'un rompecabezas d'escacs plantejat per Thomas Rayner Dawson en Caissa's Wild Roses, 1938. El rompecabezas es va plantejar com si tinguera files opostes de peons separats per una sola fila. Encara que el acertijo no es planteja com un joc imparcial, la suposició de que les captures són obligatòries implica que el fet de que un jugador es moga en qualsevol archiu solament dona com resultat l'eliminació d'eixe archiu i els seus veïns (si n'hi ha) d'una consideració adicional, en el jugador opost per a moure. Modelant açò com un montó de n fiches, un jugador pot eliminar un montó complet d'una, dos o tres fiches, pot reduir qualsevol pila en dos o tres fiches, o pot dividir una pila en dos parts despuix de llevar tres fiches. L'escacs de Dawson està representat pel còdic octal 0.137.

Kayles de Dawson

En el joc 0.07, cridat Kayles de Dawson, un moviment consistix en llevar exactament dos fiches d'un montó i distribuir el restant en zero, un o dos montons. El Kayles de Dawson es diu aixina per la seua similitut (no òbvia) en l'Escacs de Dawson, ya que el montó de n +1 fiches de Kayles de Dawson actua exactament com el montó de n fiches d'Escacs de Dawson. Es diu que Kayles de Dawson és primer germà de l'Escacs de Dawson.