Llògica quàntica

Erro al crear miniatura:

Portes llògiques quàntiques més comunes per nom, forma(s) de circuit i matrius

En física, la llògica quàntica és el conjunt de regles algebraiques que rigen les operacions per a combinar i els predicats per a relacionar proposicions associades a acontenyiments físics que s'observen a escales atòmiques.

Eixemples de tals proposicions són aquelles relatives al moment llineal o a la posició en l'espai d'un electró. La llògica quàntica pot considerar-se com un sistema formal paralel al càlcul proposicional de la llògica clàssica, a on en esta última, les operacions per a combinar proposicions són les conectivas llògiques i els predicats entre proposicions són equivalència i implicació. La llògica quàntica va ser creada en el propòsit de tractar matemàticament les anomalies relatives a la medició, com el principi d'incertitut, en la mecànica quàntica. Estes sorgixen per la medició simultànea d'observables complementaris en escales atòmiques.

L'expressió "llògica quàntica" també es referix a la branca interdisciplinária de física, matemàtica, llògica i filosofia que estudia el formalisme i les bases empíriques d'estes regles algebraiques. cal destacar que la llògica quàntica és una disciplina científica independent i en objectius diferents als de l'informàtica quàntica, encara que abdós depenen, per supost, de la física quàntica.

Introducció

El concepte de llògica quàntica va ser propost originalment per Garrett Birkhoff i John von Neumann en 1936. Tal com va ser propost per estos autors, la llògica quàntica es fonamenta en l'idea que el retícul de proyeccions ortogonals en un espai de Hilbert és l'estructura que correspon en la mecànica quàntica al reticulado de proposicions en la física clàssica.

La llògica quàntica pot formular-se com una versió modificada de la llògica proposicional. Té algunes propietats que la diferencien de la llògica clàssica, la més notable sent que la propietat distributiva

p i (q o r) = (p i q) o (p i r)

que és una propietat bàsica en la llògica clàssica, ya no és vàlida en la llògica quàntica.

Per a explicar perqué la llei distributiva no és vàlida en llògica quàntica, considerem una partícula que es desplaça sobre una recta. Siguen p, q i r les proposciones següents:

p = "la partícula es dirigix cap a la dreta"

q = "la partícula es troba en l'interval [-1,1]"

r = "la partícula es troba fòra de l'interval [-1,1]"

Llavors la proposició "q o r" és verdadera. Per lo tant

p i (q o r) = p

Per un atre costat, les proposicions

p i q

p i r

són abdós falses, puix cada una postula valors simultàneus de posició i moment linear en major exactitut de lo que seria permés per la relació de indeterminación de Heisenberg. Per això,

(p i q) o (p i r) = fals

Concloem que la llei distributiva és falsa.

La tesis que la llògica quàntica és la llògica apropiada per al raciocinio de manera general ha segut alvançada per varis filòsofs i físics. Entre els proponentes d'esta tesis es troba el filòsof nortamericà Hilary Putnam, en per lo manco un periodo en la seua trayectòria acadèmica. Esta tesis va ser un ingredient important en el seu treball entitulado "¿És empírica la llògica?" (en anglés "Is Logic Empirical?") en el qual va analisar el fonament epistemològic de les lleis de la llògica proposicional. Putnam va atribuir l'idea que les anomalies associades a la medició quàntica sorgixen d'anomalies en la llògica de la física mateixa al físic David Finkelstein.

L'idea que una modificació de les regles de la llògica seria necessària per a raciocinar correctament en proposicions relatives a events subatòmics, havia existit en alguna forma en anterioritat al treball de Putnam. Idees paregudes, encara que en menys proyecció filosòfica havien segut propostes pel matemàtic George Mackey en els seus estudis relacionant cuantización i la teoria de representacions unitàries de grups. No obstant, el punt de vista més prevaleciente entre els especialistes en fonaments de mecànica quàntica, és que la llògica quàntica no deu considerar-se com un sistema de regles la deducció. Lo que la llògica quàntica proporciona és un formalisme matemàtic per a relacionar diversos elements del aparataje de la mecànica quàntica, que són, a saber, observables, filtres físics per a la preparació d'estats i els estats mateixos. Considerats d'esta forma, la llògica quàntica s'assembla més a l'enfocament algebraic construït a partir de les C*-algebras.

Proyeccions ortogonals com a proposicions

l'enfoque hamiltoniano de la mecànica clàssica està constituït per tres elements fonamentals: El conjunt d'estats possibles del sistema,

• observables, propietats del sistema que s'obtenen per processos de medició,
• dinàmica, és dir la manera d'evolució a través del temps dels estats.

En el cas d'una partícula que es mou en l'espai R³, l'espai d'estats (també cridat espai fásico) és l'espai R⁶. Els observables són funciones f en valors reals, que són definides sobre l'espai fásico. Eixemples d'observables són les coordenades de posició o moment llineal o l'energia d'una partícula. Per a un sistema clàssic, el valor de f(x), és dir el valor de l'observable f, estant el sistema en un determinat estat x, s'obté per un procés de medició de f. Les proposicions concernents al sistema clàssic són creades a partir de proposicions bàsiques, com la següent: siguen a, b número real

• El resultat de medir l'observable f, és un valor en l'interval [a, b].

Considerem una partícula de massa m quilograms que es mou en R³, lliure de forces externes. Si l'observable f és l'energia de la partícula, llavors un eixemple de proposició bàsica és la que afirma que l'energia de la partícula (expressada en Juliol), està en l'interval [a, b]. Esta afirmació equival a dir que la velocitat v (expressada en unitats de metros/segon) satisfà la desigualtat

És una conseqüència d'esta definició de proposició en sistemes físics clàssics, que la llògica corresponent, considerada com un sistema algebraic baix les operacions de llògica, té l'estructura d'un àlgebra de Boole. De fet, esta àlgebra consistix de subconjunts de l'espai fásico. En este context, per llògica entenem les regles algebraiques que rigen les operacions booleanas, tals com les lleis de De Morgan. Per raons de naturalea tècnica, farem la suposició que els conjunts pertanyents a esta àlgebra són precisament els conjunts Boreleanos. Ademés d'unió i intersecció, el conjunt de proposicions du una relació binaria d'orde (és dir la relació de subconjunt) i una operació d'complementación. Esta última correspon a la negació en llògica. En térmens d'observables, el complement de la proposició {f ≥ a} és {f < a}.

Podem resumir el punt de vista clàssic en la forma a següent:

• El conjunt de proposicions que es poden afirmar d'un sistema físic clàssic té l'estructura d'un reticulado. Este reticulado ve equipat ademés en una operació de ortocomplementación. Les operacions (binarias) de mínim i màxim d'este reticulado són respectivament les operacions d'intersecció i unió de conjunts. L'operació de ortocomplementación és el complement en l'espai fásico. Este reticulado és ademés secuencialment complet, en el sentit que tota successió {I_i}_i d'elements del reticulado té un suprem

En la formulació de la mecànica quàntica en espais de Hilbert tal com va ser presentada per von Neumann, un observable es representa per un operador autoadjunto A densament definit (i possiblement no-acotat) sobre un cert espai de Hilbert. ya que A admet una descomposició espectral o resolució de l'identitat en térmens d'una mida de Borel de $ℝ$ (valuada sobre el conjunt de proyectores de l'espai). En particular es complix que:

En est case f és la funció característica d'un interval [a, b], i l'operador f(A) és una proyecció autodajunta, i pot ser interpretada com l'anàlec quàntic de la proposició clàssica:

• El valor d'una medició de A cau en l'interval [a, b].

Bibliografia

• S. Auyang, How is Quàntum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.
• G. Birkhoff and J. von Neumann, The Logic of Quàntum Mechanics, vol 37, 1936.
• D. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quàntum Logic, Springer-Verlag, 1989. Este llibre és un estudi detallat, pero a nivell introductori apropiat per a alumnes de llicenciatura que tinguen bona base en física i matemàtica.
• D. Finkelstein, Matter, Space and Logic, Boston Studies in the Philosophy of Science vol V, 1969
• A. Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
• R. Kadison, Isometries of Operator Àlgebra, Annals of Mathematics, vol 54 pp 325-338, 1951
• G. Ludwig, Foundations of Quàntum Mechanics, Springer-Verlag, 1983.
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quàntum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963 (paperback reprint by Dover 2004).
• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quàntum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
• R. Omnès, Understanding Quàntum Mechanics, Princeton University Press, 1999. Proporciona al llector una discussió extremadament clara d'alguns temes de la llògica i de la filosofia de la mecànica quàntica, en atenció a l'història de la matèria.
• N. Papanikolaou, Reasoning Formally About Quàntum Systems: An Overview, ACM SIGACT News, 36(3), pp. 51-66, 2005.
• C. Piron, Foundations of Quàntum Physics, W. A. Benjamin, 1976.
• H. Putnam, Is Logic Empirical?, Boston Studies in the Philosophy of Science vol. V, 1969
• H. Weyl, The Theory of Groups and Quàntum Mechanics, Dover Publications, 1950.