Lloc de raïls

Lloc de raïls

Lloc de les raïls de la funció de transferència $G(s)H(s)=\frac{s+3}{s^3+3s^2+5s+1}$.

En teoria de control, el lloc de raïls o lloc de les raïls (del anglés, root locus) és la representació gràfica del lloc geomètric dels pols d'una funció de transferència a mida que es varia un paràmetro en un determinat interval. Típicament, paràmetro correspon en el guany $k$ d'un control proporcional.

El método del lloc de raïls, propost per Walter R. Evans, permet determinar la posició dels pols de la funció de transferència a llaç tancat per a valors de guany K en el ranc $[0,\mathrm{\infty })$a partir de la funció de transferència a llaç obert.

El lloc de raïls és una ferramenta útil per a analisar el transitori de sistemes dinàmics llineals tipo SISO (single input single output) i el seu estabilitat (BIBO stability).

Definició

Siga $G(s)$ la funció de transferència d'una planta, i $H(s)$ la funció de transferència de la cadena de realimentación.

$G(s)H(s)$ representa la funció de transferència del sistema en bucle obert. Pertanyen al lloc de raïls tots els punts del pla complex que satisfan l'equació característica:

$1+kG(s)H(s)=0\mathrm{\forall }k\in [0,\mathrm{\infty })$

Per al cas de $k\in (-\mathrm{\infty },0)$, es denomina Lloc de les Raices Complementari.

Propietats

El lloc de raïls és simètric respecte del eix real.

Comença en $k=0$ els pols $p_i$ de la funció de transferència en llaç obert $G(s)H(s)$, i termina per a $k\to \pm \mathrm{\infty }$, normalment en valor nul. Les solucions per a $k\ge 0$ corresponen al lloc de raïls verdader, mentres que les solucions per a $k<0$ corresponen al lloc de raïls complementari.

Bibliografia

1. G.F. Franklin, A.D. Powell, A. Emami-Naeini, “Feedback Control of Dynamic Systems ”, Ed. Pearson, 6th edition, 2009. Chapter 5.
2. K. Ogata, “Ingenieria de Control Moderna ” , Ed. Pearson, 5ª Edició, 2010. Capítul 6.
3. W. R. Evans (January 1948), "Graphical Analysis of Control Systems", Trans. AIEE, 67 (1): 547–551, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708
4. W. R. Evans (January 1950), "Control Systems Synthesis by Root Locus Method", Trans. AIEE, 69 (1): 66–69, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121

Vore també

• Marge de fase
• Marge de guany
• Criteri d'estabilitat de Routh-Hurwitz
• Criteri d'estabilitat de Nyquist