Llongitut de Debye

En Física de plasmes la llongitut de Debye, també cridada ràdio de Debye és l'escala a través de la qual portadors de càrrega mòvils —per eixemple, electronés— generen un apantallamiento dels camps elèctrics en els plasmes i atres conductors. En atres paraules, la llongitut de Debye és la distància sobre la qual pot ocórrer una separació significativa de càrrega. Análogament, una esfera de Debye és el volum el radi del qual és una llongitut de Debye, dins de la qual existix una esfera d'influència, i fòra de la qual les càrregues són «apantalladas». La llongitut de Debye rep el seu nom en honor del físic i físic-químic holandés Peter Debye. La noció de la llongitut de Debye juga un important paper en la Física de plasmes, electrolitos i coloides (teoria DLVO).

Orige físic

La llongitut de Debye sorgix de forma natural en la descripció termodinàmica de grans sistemes que contenen càrregues en moviment. En un sistema de $N$ diferents espècies de càrregues, la $j$-ésima espècie porta una càrrega $q_j$ i té una concentració $n_j(𝐫)$ en la posició $𝐫$. D'acort en el cridat «model primitiu», estes càrregues es distribuïxen en un mig continu caracterisat solament pel seu permitividad relativa estàtica: ${\epsilon }_r$. La distribució de càrregues dins d'este mig dona lloc a un potencial elèctric, $\Phi (𝐫)$, que satisfà l'equació de Poisson:

${\mathrm{\nabla }}^2\Phi (𝐫)=-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j(𝐫)$,

sent ${\epsilon }_0$ la permitividad elèctrica del buit.

Les càrregues en moviment no solament establixen $\Phi (𝐫)$, sino que també es mouen responent a la força de Coulomb associada: $𝐅=-q_j\mathrm{\nabla }\Phi (𝐫)$. Si ademés suponem que el sistema es troba en equilibri termodinàmic en un foc calòric a temperatura absoluta $T$, llavors les concentracions de càrrega discreta, $n_j(𝐫)$, poden considerar-se ensambles termodinàmics promig i el potencial elèctric associat pot considerar-se un camp mig. En estes suposicions, la concentració de la $j$-ésima espècie de càrrega està descrita per la distribució de Boltzmann.

$n_j(𝐫)=n_j^0\exp (-\frac{q_j\Phi (𝐫)}{k_{B}T})$,

a on $k_B$ és la constant de Boltzmann i $n_j^0$ és la concentració mija de càrregues d'espècies $j$. En identificar les concentracions instantànees i el potencial instantàneu en l'equació de Poisson en les seues contrapartes de camp mig en la distribució de Boltzmann, s'obté l'equació de Poisson-Boltzmann:

${\mathrm{\nabla }}^2\Phi (𝐫)=-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j^0\exp (-\frac{q_j\Phi (𝐫)}{k_{B}T})$.

Es coneixen solucions per a esta equació no llineal per a alguns sistemes simples. Per a sistemes més generals, es poden obtindre solucions en el llímit d'alta temperatura (acoplament dèbil), $q_j\Phi (𝐫)\ll k_{B}T$, per mig d'una expansió en série de Taylor de la funció exponencial:

$\exp (-\frac{q_j\Phi (𝐫)}{k_{B}T})\approx 1-\frac{q_j\Phi (𝐫)}{k_{B}T}$.

Esta aproximació dona com resultat l'equació linearizada de Poisson-Boltzmann:

${\mathrm{\nabla }}^2\Phi (𝐫)=\left(\sum _{j=1}^N\frac{n_j^0{q}_j^2}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0{k}_{B}T}\right)\Phi (𝐫)-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j,$

la qual es coneix com equació de Debye-Hückel.

El segon terme del costat dret de l'equació desapareix en sistemes que són eléctricamente neutres. El terme entre paréntesis de llongitut inversa al quadrat i conduïx de manera natural a la definició d'escala de llongitut característica:

${\lambda }_D={\left(\frac{{\epsilon }_r{\epsilon }_0{k}_{B}T}{\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j^2}\right)}^{1/2}$

que és cridada comunament «llongitut de Debye-Hückel». La llongitut ${\lambda }_D$ establix l'escala de variacions en el potencial i en les concentracions d'espècies carregades. Es deu fer émfasis en que totes les espècies carregades contribuïxen d'igual manera a la llongitut de Debye-Hückel, sense importar el signe de les seues càrregues. El potencial produït per una càrrega puntual externa ${\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=Q\delta (𝐫)$ és:

$\Phi (𝐫)=\frac{Q}{4\pi \epsilon r}{e}^{-r/{\lambda }_{\mathrm{D}}}$.

El potencial de Coulomb és apantallado exponencialment pel mig, a una distància de l'orde de la llongitut de Debye: açò es diu apantallamiento de Debye.

Valors típics

En els plasmes en l'espai, a on la densitat d'electrons és relativament baixa, la llongitut de Debye pot alcançar valors macroscòpics, com en la magnetosfera, el vent solar o el mig intergaláctico (vore la taula):

Plasma	Densitat ni(m-3)	Temperatura d'electrons T(K)	Camp magnètic B(T)	Llongitut de Debye λD(m)
Núcleu solar	1032	107	--	10−11
Tokamak	1020	108	10	10−4
Descàrrega de gas	1016	104	--	10−4
Ionosfera	1012	103	10−5	10−3
Magnetosfera	107	107	10−8	102
Vent solar	106	105	10−9	10
Mig interestelar	105	104	10−10	10
Mig intergaláctico	1	106	--	105

Hannes Alfvén assegura que: «En un plasma de baixa densitat regions localisades de càrrega poden generar grans caigudes de potencial a distàncies de l'orde de vàries decenes de llongituts de Debye. Estes regions són anomenades “capes elèctriques dobles”. Una doble capa elèctrica és la distribució espacial de càrrega més simple que dona una caiguda de potencial en la capa i un camp elèctric que desapareix a l'atre costat de la capa. En el laboratori les dobles capes s'han estudiat per mig sigle, pero la seua importància en plasmes còsmics no ha segut reconeguda de forma general».