Mòdul semisimple

En matemàtiques, concretament en àlgebra abstracta i teoria de mòduls, un mòdul semisimple o mòdul completament reducible és un tipo de mòdul que s'expressa com suma directa de submòduls simples. Els anells que són mòduls semisimples sobre sí mateixos es diuen anells semisimples, i la seua estructura queda determinada pel Teorema de Artin-Wedderburn, que els caracterisa com isomorfos a un producte directe d'anells de matrius sobre anells de divisió.

Definició

Un mòdul sobre un anell (no necessàriament conmutativo) es diu semisimple (o completament reducible) quan és una suma directa de submòduls simples.

Caracterisació

Per a un mòdul qualsevol $M$, equivalen:

1. $M$ és semisimple, suma directa de mòduls simples.
2. $M$ és la suma directa dels seus submòduls simples.
3. Cada submòdul de $M$ és un sumant directe; és dir, per a cada submòdul $N$ de $M$, existix un complement $P$ tal que $M=N\oplus P$.

Propietats

• Si $M$ és semisimple i $N$ és un submòdul, llavors $N$ i $M/N$ són també semisimples.
• Si cada $M_i$ és un mòdul semisimple, també ho és $\underset{i}{⨁}{M}_i$.
• Un mòdul $M$ és finitamente generat i semisimple si i només si és artiniano i el seu radical és zero.

Referències

• (2012).«Algèbre Ch. 8».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (1989).«Basic algebra II».W. H. Freeman.
• (2001).«A First Course in Noncommutative Rings».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (2002).«Algebra».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.